定積分と級数について

質問

武蔵工大の入試問題の出題で、

各自然数nに対して、

n
Σ1/n+ik
k=1

の実部、虚部をそれぞれAn,Bnとするときの極限値

limAn、limBnを求める・・・(i=虚数単位)
n→∞ n→∞

書き始めからどのようにすればいいのか分からず・・・。

宜しければ解法を教えてくださいｘ＿ｘ；

回答はlimAn=4/π　limBn=-1/2log2

tanθなどに置き換える必要はあるのでしょうか？

回答No.1

atomicmolecule · ベストアンサー

受験用の数学すっかりわすれてまして、問題を正攻法で解こうとして、級数和がかなり高度になったところで「こんな計算高校数学で出来るんだろうか？」と疑問に思いました。そこで昔の記憶がよみがえって来ました。高校数学で和を積分に直す問題ってありましたね。

つまり Σ_{k=1⇒n} f(k/n) のタイプの和はkが１からｎまで行きますが、nを大ききするとこれはｆの中の変数が連続的に変わると思ってもいいですね。

実数部分と虚数部分をとる操作はあまり本質じゃないので、簡単な例を解いておきますから参考にして問題を自分で解いてください。

Σ_{k=1⇒n}1/(n+k)
=Σ _{k=1⇒n}(1/n)1/(1+k/n)
=Σ _{x=0⇒1}Δx 1/(1+x)
=∫dx 1/(1+x)=log(1+x)|_{0⇒1}

二行目では1/nをくくり出しました。
三行目ではk/n=xと置きました、そしてxの和の刻み幅は1/nなので Δx=1/nとしました。(例えばk=10と11の場合xは 10/nと11/nと変わりますからΔx=11/n-10/n=1/n）最後は刻み幅Δx=dxとして積分にします。

因みに答えは実部π/4の間違いではないでしょうか？
分母を実数かして、実部と虚部はわけて考えるとよいでしょう。

お礼

素早い回答有り難う御座いました。

三行目のところはn/k=x　にならないのは・・・なぜでしょう・・・(´・ω・`;)