フーリエ級数

質問

大学からの課題なのですが、数学はあまり得意出ない上、高校で勉強した内容よりもレベルが上の難易度のようで、
色々と頑張っては見たのですが現在の自分の力だけではどうにも解く事が出来ないので、よかったらお教えください。

関数f(x)はxの全ての実数値に対し定義されていて、2πを周期に持つとする。
すなわち、f(ｘ + 2π)=f(x),さらに,積分
∫-π＾π｜f(x)｜dxが存在するとする。このとき、関数ｆ(x)は
以下のように展開できる。

f(x)＝a0/2+Σ[n=1,∞](an cos nx + bn sin nx)　(1)

ここで、係数an,bn次式で計算される。

an=1/π∫-π＾π ｆ(x)cos nx dx （n=0,1,2,....）,　(2)

bn=1/π∫-π＾π ｆ(x)sin nx dx （n=1,2,....）,　(3)

さて特に、ｆ(x)＝｛
-1 （-π≦ｘ＜0,π＝π）
+1　（0≦ｘ＜π）
｝　　　　(4)

の場合を考える。このとき以下の問に答えよ。

【1】an=0(n=0,1,2,....)であることを示せ。

【2】bnが次式で与えられることを示せ。
bn＝{
0　（n=2,4,...）
4/nπ　（n=1,3,5,...）
}

【3】　【1】式の無限級数の和を、n=5までの和で近似せよ。
すなわち、

f(x)= a0/2 + Σ[n=1,5](an cos nx + bn sin nx)=4/πΣ[n=1,3,5]sin nx/n (5)

回答No.2

spring135

この質問はフーリェ級数の定義を説明するための最も基本的問題です。まづは次のような努力をすべきです。
（1）教科書、参考書のフーリェ級数の部分をよく読む。この問題は
　　例題として多分出ているでしょう。
（2）教科書、参考書を持っていないで、かつ、もつ意志もないなら　　ば、Googleなどで検索してみてください。1万件以上ヒットする　　でしょう。
ネットでの記述は、きちんと体系化して書かれていない場合があり、学部の学生が勉強するには適切でない場合もあります。

補足

どうもです。
おそらく区間を分けて積分すればいいのかな、と調べてみて思いました。
フーリエ級数そのものはおそらく大学のものなので、まだ大学生として
スタートもしていない私は持っていなかったのです。
検索してみれば、といわれる前に調べるべきでしたね、すいません。
解き方の見当はつきましたが・・・やはり理論はよくわかりませんね。
少しずつ慣れていくとします。

回答No.1

koko_u_u

明らかに計算するだけです。