数列の問題で。。。

質問

（X＋１）^nを　X^2－２Ｘ－２で割った余りを　AnX＋Bn　(n＝1,2,3・・・）とする。
An＋１、Bn＋１をそれぞれAn Bnを用いて表せ。

という問題があり、
解答では、
（X＋１）^n＝（X^2－２Ｘ－２）Q（X）＋AnX＋Bn　・・・・(1)とおく。
(1)の両辺に（X＋１）をかけて、
（X＋１）^n＋１＝（X^2－２Ｘ－２）（X＋１）Q（X）＋AnX（X＋１）＋Bn（X＋１）(2)

＝（X^2－２Ｘ－２）（X＋１）Q（X）＋AnX（X^2－２Ｘ－２）＋（３An＋Bn）Ｘ＋（２An＋Bn)・・・・(3)
これより
An＋１＝３An＋Bn
Ｂｎ＋１＝２An＋Bn

ということだそうですが、(3)以下がまったくわかりません。
なぜ、(2)の式から(3)の式になったのでしょうか？
よってAn＋１＝３An＋Bn
Ｂｎ＋１＝２An＋Bn
になるのも、なぜなのかわかりません。。。。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

A[n]，B[n]の定義から，商をQ(x)と置くと，

(x + 1)^n = (x^2 - 2x - 2)Q(x) + (A[n] x + B[n]) …(1)

になりますよね．この関係式から「(x + 1)^(n+1)をx^2 - 2x - 2で割り算したときの余り」を求めよう，という目論見です．

(x + 1)^n に x + 1 を掛け算すると (x + 1)^(n+1) がつくれるので，(1)の両辺に x + 1 を掛け算すると，

(x + 1)^(n+1)
= (x^2 - 2x - 2)(x + 1)Q(x) + (x + 1)(A[n] x + B[n])
= (x^2 - 2x - 2)(x + 1)Q(x) + A[n] x^2 + (A[n] + B[n])x + B[n] …(2)

となります．このうち最初の項は明らかに x^2 -2x - 2 で割り切れますから，余りには寄与しません．第2項以降は，このままではよくわかりませんので，第2項以降を x^2 -2x - 2 で割り算すると，その商はx^2の係数よりA[n]であり，その余りは

(余り)
= A[n] x^2 + (A[n] + B[n])x + B[n] - A[n](x^2 -2x - 2)
= (3A[n] + B[n])x + (2A[n] + B[n]).

すなわち，

(第2項以降)
= A[n](x^2 - 2x - 2) + {(3A[n] + B[n])x + (2A[n] + B[n])}.

∴(x + 1)^(n+1)
= (x^2 - 2x - 2)(x + 1)Q(x)
+ A[n](x^2 - 2x - 2) + {(3A[n] + B[n])x + (2A[n] + B[n])}
= (x^2 - 2x - 2){(x + 1)Q(x) + A[n]}
+ {(3A[n] + B[n])x + (2A[n] + B[n])}. …(3)

A[n+1]，B[n+1]の定義より

A[n+1] = 3A[n] + B[n],
B[n+1] = 2A[n] + B[n]

が得られます．

お礼

なんとわかりやすい説明でしょう・・・・感動してしまいました。
本当に参考書と何時間格闘してもわからなかったんですが、
おかげで理解できました。
色々記号がでてきて、解説も大変だったと思うのですが、
その中でこんなにわかりやすい説明をしていただきありがとうございました。
kz_yさんに解答してもらいラッキーでした。
心より感謝申し上げます。