フーリエ級数展開

質問

宿題で一応自分で解いた見たのですが疑問というか、正解かどうか分からなかった問題があったので質問させていただきます。

f(t)=sinwtとして、
F(n)=1/T∫t(t)exp(-jnwt)dt
ただし w=2π/T
で、F(n)の積分範囲は -T/2→T/2　です。
F(n)=(an-bn)/2で
an=2/T∫f(t)cosnwtdt
bn=2/T∫f(t)sinnwtdt　（積分範囲はF(n)と同じ）
で与えられています。
anは偶関数×奇関数なのでan=0
bnは三角関数の和と積の公式から解いて、

結局n=1,-1のとき、an=1　他の場合n=0
したがってF(n)=(n=1,-1のとき)j/2
(nがその他の値のとき)0
という答えになりました。

これはF(n)を求めよ、という問題なのですが、どうもこの解はnの関数になってないような気がして、間違っているのでは??と思ったのですが…

これで大丈夫でしょうか？？

すみませんが、教えてください。

回答No.2

noname#21219

e^-jnωt=cos(nωt)-jsin(nωt)を積分の中に
代入したのですよね？

仰るように関数の偶奇性によりan=0です。
bn=2/T∫sinωtsinnωtdt
=2/T∫-1/2・{cos(n＋1)ωt-cos(n-1)ωt}dt
これは、２項とも周期関数ですから、Tについて
1周期積分すれば0です。n=1,-1を除いては。

n=1⇒bn=1/T・(T/2-(-T/2))=1
n=-1⇒bn=-1
よって、F(n)=(an-jbn)/2=-j/2,j/2(n=1,-1の順)
F(n)=0 (n≠1,-1)

あるいはsinωt=(e^jωt-e^-jωt)/2j
という公式がオイラーの公式から導けますが、
それにe^-jnωtかけて周期積分する
ならば、n=1,-1以外では全て積分が0
になることになります、第一項も第二項も周期関数
になりますから。

余談ですがsinωt=(e^jωt-e^-jωt)/2jという式を眺めて、
周波数成分がn=1と-1を持っているので、フーリエ変換すればn=1と-1のスペクトルのみ得られる、などと
いったりします。sinでなく、矩形波やのこぎり波
などはもっといろいろな周波数(n=1,-1以外)
e^jmωtの重ね合わせなので、sinωtよりも
バリエーションのあるスペクトルが得られます。

回答No.1

endlessriver

計算などは検討していませんが、フーリエ級数展開は周波数成分にわけますから
f(t)=sinwt
ならば周波数成分は１つしかないのです。