高校数学「数列」の問題です

質問

自然数ｎに対して、正の整数ａn，ｂnを
(3＋√2)^n＝ａn＋ｂn√2
によって定める。このとき、次の問いに答えよ。
(1) ａ1，ｂ1とａ2，ｂ2を求めよ。
(2) ａn+1，ｂn+1をａn，ｂnを用いて表せ。

――――――
(1) ａ1＝3，ｂ1＝1
ａ2＝11，ｂ2＝6

(2)の解法を教えて下さい。

よろしくお願いします。

回答No.3

naniwacchi

#1です。

＞展開したときの係数ということは、二項定理を用いるのでしょうか？？
何もヒントがなければ、二項定理という話になるかもしれませんが、
ある意味「バカ正直」に考えると・・・

数列 {a[n]}と {b[n]}の定義から、
(3+ √2)^n＝ a[n]+ b[n]√2
(3+ √2)^(n+1)＝ a[n+1]+ b[n+1]√2

のようになります。
第2式の左辺は (3+ √2)^n* (3+ √2)とかけますから、
ここへ第1式を代入するだけです。

定義に従うことで、深く考えすぎずに一般項を求められる例になります。

ちなみに、(3+ √2)^n＝ a[n]+ b[n]√2と表すことができる。ということ自体は
数学的帰納法を用いれば証明できます。
その場合も、上のような考え方（nと n+1のとき）を使います。

お礼

遅れてすみません。回答ありがとうございます。よく分かりました！与えられた定義を素直に活用して、明快な解答を作るよう心がけたいです。

回答No.2

ask-it-aurora

整数列a[n], b[n]の定義から自然数nについて次が成り立ちます：
a[n + 1] + b[n + 1]√2 = (3 + √2)^(n + 1)
= (3 + √2)(3 + √2)^n = (3 + √2)(a[n] + b[n]√2)
= (3a[n] + 2b[n]) + (a[n] + 3b[n])√2.
√2は無理数で数列の値は整数なので表示の一意性から
a[n + 1] = 3a[n] + 2b[n],
b[n + 1] = a[n] + 3b[n]
となります．

(1)の結果で験算をしてみると実際
a[2] = 11 = 3*3 + 2*1 = 3a[1] + 2b[1],
b[2] = 6 = 3 + 3*1 = a[1] + 3b[1]
となっていますね．

お礼

ありがとうございます。分かりやすかったです。この解答のような発想ができるようになりたいです。

回答No.1

naniwacchi

a[n+1],　b[n+1]は、(3+√2)^(n+1)を展開したときの係数ですよ。

お礼

回答ありがとうございました。展開したときの係数という解き方は未だ見えてきませんが、理解できる時が来たらいいなと思います。

補足

naniwacchi様
展開したときの係数ということは、二項定理を用いるのでしょうか？？
もしよろしければ、詳しくご教授頂けると嬉しいです！