数列の極限の証明

質問

「a1=a,b1=b,(a＞b＞0) a(n＋1)=(an＋bn)/2 b（n＋1）=anbn^1/2 で定まる二つの数列｛an｝,{bn}は同じ極限値を持つことを示せ。」

という問題を解いていて、このリンクの証明を見たのですが、

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1463528674

証明の最後で、a_n+1=ka_n を満たす1より小さい正の実数kが存在することから、
a_n=k^(n-1)*a1
として、n→∞でa_n→0としていましたが、

a_n=f(n)として、f(x)が単調減少関数でf(n+1)=k_n(fn) (k_nはnによって変化する1より小さいある正の定数)となっても、
k_nはnに依存するので、必ずしもx（またはn)→∞でf(x)(またはf(n))→0になるとは限らないのではないのでしょうか。（ex. k_n→1 (n→∞), f(x)=(1/x)+(1/2))

その可能性はないのでしょうか？

以下がリンク先の証明の全文です。

与えられた漸化式と0＜a＜bより帰納的に0＜an,0＜bnとなる。

すると相加・相乗平均の関係より
a(n+1)/b(n+1)=(an+bn)/2√(anbn)
=(1/2){√(an/bn)+√(bn/an)}≧(1/2)*2*√(an/bn)*√(bn/an)
=1
∴b(n+1)≦a(n+1)となる。

ここで等号が成り立つとすると
bn=anより
a(n+1)=(1/2)(an+bn)=(1/2)*2an=an
となり
an=a(n-1)=…=a1=a=b1=b
となりa＜bに矛盾する。

よって等号は成立しないので
b(n+1)＜a(n+1)
となり、したがって
bn＜an…(*)
となる。

すると
an+bn＜2anより
a(n+1)=(1/2)(an+bn)＜(1/2)*2an=an
となる。

したがって0＜anより
a(n+1)=k*an
を満たす1より小さい正の実数kが存在する。

すると
an=k*a(n-1)=k^2*a(n-2)=…=k^(n-1)*a1=k^(n-1)*a
となるから
lim[n→∞]an=a*lim[n→∞]k^(n-1)=0…(**)
となる。

すると(*)と0＜bnより
0＜bn＜an
だから(**)からはさみうちの原理により
lim[n→∞]bn=0
となる。

よって
lim[n→∞]an=lim[n→∞]bn=0
となる。

回答No.1

green3623 · ベストアンサー

仰るとおりです。

＞a(n+1)=k*anを満たす1より小さい正の実数kが存在する

これは確かですが、すべてのｎについてｋが一定だということは示されていないので、

＞an=k*a(n-1)=k^2*a(n-2)=…=k^(n-1)*a1=k^(n-1)*aとなるから
＞lim[n→∞]an=a*lim[n→∞]k^(n-1)=0…(**)となる。

これが成り立ちません。

偉そうに言えることではないですが、
解答としては、リンク先のtsurugiya2000さんのものが最も適してるのではないかと思います。
「上に有界」「下に有界」などは高校の指導要領を逸脱していますが、高校範囲ではなくても十分だと思います。

お礼

なるほど・・・
よく分かりました。

ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

言われる通りです... というか, その「証明」はいろいろとおかしい. とりあえず
・どこから 0＜a＜b が出てきたのか (仮定では 0 < b < a)
・任意の n に対して
「a(n+1)=k*an
を満たす1より小さい正の実数kが存在する。」
ということはない (a_n と b_n の極限が 0 以外の値で一致するならそのような k は存在しない)
・a_n, b_n のどちらも極限は 0 ではない (実際には
b_1 < b_2 < b_3 < ... < 共通の極限値 < ... < a_3 < a_2 < a_1
が言えるので, 極限は a と b の間のどこかに落ちる)
くらいは突っ込めるかな.

お礼

確かに突っ込みどころが結構ありますね・・・。
ありがとうございました。