べき級数の証明問題

質問

Cn=ΣAkBn-k（n：0→∞）　とする。

ΣAn, ΣBn, ΣCn　は全部収束しているとする。
この時、ΣAn・ΣBn＝ΣCn　が成立していることを、
次の様に示せ。
1. F(x)=ΣAn・x^n、G(x)=ΣBn・x^n、H(x)=ΣCn・x^n
を考えると、これらは、収束半径が1以上であることを示せ。
2.|x|<1で、F(x)・G(x)=H(x)をしめせ。

1,2の手順にそって、
証明する問題の様なのですが、
ちょっと困っています。
だれか分かる方がいらしたら、助言の方よろしくお願いします。

回答No.1

leige

まず1は
Σ[n=0,∞](a_n)x^nはx=x_1で収束すれば
|x_2|＜|x_1|であるようなx=x_2で絶対収束する.
ということから示せると思います。

それには、数列{(a_n)(x_1)^n}が有界であることから
M≧|(a_n)(x_1)^n|とおいて、|x_2|＜|x_1|について
Σ[n=0,∞]|(a_n)(x_2)^n|=Σ[n=0,∞]|(a_n)(x_1)^n||x_2/x_1|^n
=MΣ[n=0,∞]|x_2/x_1|^n=…と考えるとよいと思います。

つぎに2は
Σ[0<i<∞,0<j<∞]AiBjx^(i+j)が絶対収束をすることを示せば
任意の順序で、収束するので
ΣAn・x^nΣBn・x^n=ΣCn・x^nが示せると思います。

それには1よりΣAn, ΣBnが絶対収束するので
Σ[0<i<s,0<j<t]|AiBjx^(i+j)|≦Σ[n=0,∞]|An・x^n|Σ[n=0,∞]|Bn・x^n|
となって、有界であることがわかります。
したがって単調非減少数列として収束すると考えるとよいと思います。

さいごに
2で示したことに
Abelの連続性定理を使うとよいと思います。