漸化式と数列

質問

題名のとおりですが、質問です。よろしくお願いいたします。

問題は
二種類の細胞A　Bがあり、各細胞は１分ごとに分裂する。１個のAはA1個、b３個の計４個に分裂し、１個のｂはA2個　Ｂ２個の計４個に分裂する。初めにそれぞれ一個ずつある。ときN分後のA　Bの個数をAn, Bnとする。そのときan, bnを求めよです。

私の解法
A(n+1)=An+2Bn
B(n+1)=3An+2Bn

An-2/3Bn=1/3(-1)^(n-1)

ですが、この後わかりませんでした。
どなたか判る方アドバイスをお願いいたします。

回答No.1

rtz · ベストアンサー

A(n+1)＝A(n)＋2B(n) かつ B(n+1)＝3A(n)＋2B(n)
⇔A(n+1)＋B(n+1)＝4A(n)＋4B(n)＝4{A(n)+B(n)} かつ 3A(n+1)－2B(n+1)＝－3A(n)＋2B(n)＝－{3A(n)－2B(n)}
⇔A(n)＋B(n)＝4^(n-1)・{A(1)＋B(1)}＝2・4^(n-1) かつ 3A(n)－2B(n)＝(-1)^(n-1)・{3A(1)－2B(1)}＝(-1)^(n-1)
⇔5A(n)＝4・4^(n-1)＋(-1)^(n-1)＝4^n－(-1)^n かつ 5B(n)＝6・4^(n-1)－(-1)^(n-1)＝(3/2)・4^n＋(-1)^n
⇔A(n)＝(1/5)・{4^n－(-1)^n} かつ B(n)=(1/10)・{3・4^n+2・(-1)^n}

お礼

ご回答ありがとうございました。
教えていただいたとおりにやると、できました。