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公倍数を表す式の求め方。
nは自然数で、 2n-1と3n-1の公倍数を表す式は 6n-1だと思うのですが、（間違ってたら指摘お願いします） 2n-1と3n-1と5n-4の公倍数を表すしきの導き方、 2n-1と3n-2と5n-3と7n-4の公倍数を表す式の導き方がわかりません。 an-1とbn-1のように同じものを引いているのであれば aとbの最小公倍数をαとするなら、公倍数を表す式は αn-1になるのかなっと感覚的に思うのですが、 2n-1と3n-2と5n-3と7n-4のように違うものが引かさっているものの 公倍数を表す式を導くにはどのように考えればよいのでしょうか？ わかりにくい文章ですいません。
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- Tacosan
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頑張って不定方程式を解く.
- ani-san
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↓の回答と同様ですが、公倍数という言い方はおかしいですね。元の数列がそもそも倍数では無いですから。 ここでは、数列の一般項がそれぞれ2n-1 3n-2 5n-3 7n-4(nは自然数)で表される数列に共通する数値、という風に解釈します。 まず2a-1 = 3b-2 = 5c-3 = 7d-4 をみたす自然数a,b,c,dを探します。 おそらく、一番小さいところでa=79,b=53,c=32,d=23となり =157 となります。 後は2,3,5,7の最小公倍数210ずつずらせば割ったときのあまりは変わらないので、今求めたい式は 210n + 157 (nは0以上の整数) もしくは 210n - 53 (nは自然数) になるかと思います。 a,b,c,dを求める部分は、等式をばらして考えるとやりやすいですね。 行列を使えば解けそうですが、面倒なんで地道に右側の2式から数字をずらして気合で解いてみました。
- eatern27
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>6n-1だと思うのですが、（間違ってたら指摘お願いします） この辺りを見る限り、 >2n-1と3n-1の公倍数を表す式は ってのは、普通の意味の「公倍数」のことではなく、 {2n-1|n∈N}と{3n-1|n∈N}の共通部分(つまり、2n-1とも3m-1とも表せる自然数の一般式) という意味なんですかね？？ だとすれば、 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E3%81%AE%E5%89%B0%E4%BD%99%E5%AE%9A%E7%90%86 この辺りが参考になるでしょうか。
- proto
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2n-1で表される数は、1,3,5,7… 3n-1で表される数は、2,5,8,11… 最小公倍数は、2,15,40,77… となり77以外は6n-1で表される数ではありません 予想を立てるのはいいのですが、具体的に値を代入して検証してます？ 2n-1と3n-1の公倍数は2n-1でも3n-1でも割れる数だから、単純に考えれば(2n-1)*(3n-1)になると思うんですが。 もちろん2n-1,3n-1が互いに素ならば(2n-1)*(3n-1)が最小公倍数になると思います。
- poohron
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たとえば、1と2の公倍数は2,4,6,8,10,…と無限にあるので 6n-1というような式は明らかに間違っていますね。 最小公倍数のことを指してらっしゃるのでしょうか? だとしても 2n-1と3n-1の最小公倍数は6n-1 は違いますよ。 単純にn=1とか代入してみればすぐに間違いが分かります。 n=1のとき、2n-1=1,3n-1=2,6n-1=5ですからね。 与えられた式だけでは最小公倍数を表すことは不可能です。 最大公約数が与えられていれば可能ですが。 なお、最小とは限らない公倍数の『一部』はこの場合、 k(2n-1)(3n-1) （kは任意の自然数） で表すことができます。 しかし、単純に2つの数を掛け合わせただけなので、 まったく意味の無い式です。
補足
書き方が悪かったみたいです。 自分がいいたかったのは、 2n-1で表される数は1,3,5,7,9,11,13,15,17・・・ 3n-1で表される数は2,5,8,11,14,17・・・ ですよね。 2n-1と3n-1で共通する数が 5,11,17・・・ この共通する数を式で表すと6n-1になりますよね。 こういうことがいいたかったのです。 間違われて当然の書き方でした。 すいませんでした。