極限の求め方を教えてください。大学受験

質問

極限の求め方を教えてください。グラフを書くときに極限値が求められませんでした。
問題は、
F(x)=(2x^2+x-1)/(x-1)のｘ→１とｘ→－１のときの極限です。

私のやり方は、
１． このまま１を代入すると分母が０になるので、変形が必要
２． {(2x-1)(x+1)}/(x-1)と変形するもやはり分母が0に。。。
３． 2x+3+(2/(x-1)と変形しましたが・・・。

以上のようにやった結果だめでした・・・。ｘ→－１のときは、ｘ＝－ｔとおくのはわかるのですが・・・。
これもｘ→∞のときは、∞にとぶのですよね？
ある定数に近づくときはどうしたらいいのでしょうか？

解法を教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.3

galassia5 · ベストアンサー

「x→1 と x→-1」というのは「x→1+0 と x→1-0」の事ですよね？
でしたら、♯１さんの増減を考える方針に賛成です。

♯２さんの回答に関してですが、
大学入試の場合は高校範囲外の定理・公式を使うと
減点される可能性が大きい・解答の印象が悪い、などと聞きました。
(大学にもよるようですが…。)
ただ、ロピタルの定理は使いこなせられれば楽なので、
検算として使うのにはピッタリ、
また、本当に何をやってもわからず、完全に手も足も出ないような極限計算なら
大幅減点覚悟で使って、先の設問に進んでしまえ、な感じで教わりました。

最後に、「x=-t」と置くのは、「x→-∞」を考えるときの手段ではないでしょうか…？
(そうすると「t→∞」になって楽に考えられるため)

お礼

galassia5さま、御回答ありがとうございました。
おっしゃるように、まちがっておりました。ご指摘ありがとうございます。ロピタルは聞いたことがありましたが、イマイチよくわからなかったのですが、検算にはいいとよく聞きますので、この際身につけようと思います。が、・・・＃２さんの利用法私にはわかりませんでした。＃２さんのところに疑問点を書いていますので、もしよろしければ、再度教えてくださいませ。よろしくお願いいたします。

回答No.4

galassia5

♯３です。

ロピタルの定理が使えるのは少なくとも、
「xの値をaに近づけたとき、分子・分母ともに０または∞に近づくとき」
でなくてはならないので、
今回はx→1で分子が２に近づくことよりロピタルの定理は使えないかと…。

（ちなみに、使えるための条件はこれだけではないので、参考書などで調べてみてください…。）

よって今回は、例えば
F(x)→∞ (x→1+0) 、F(x)→-∞ (x→1-0)
のようなことをささっと書いた後グラフを描けば十分であると思いますよ。

お礼

galassia5さま、早速の御回答ありがとうございます。
やはり今回はロピタルは使えないのですね。

でも、これからもロピタルは検算用として、地道にがんばりたいと思います。度々の御回答ありがとうございました。

回答No.2

m234023b

大学入試ですので途中の過程でどのような方法をとってもいいと思いますので[ロピタルの定理]を紹介します.

極限をとったときに,∞/∞や,0/0のような不定形になるときは分母分子を同じ回数だけ微分して不定形にならないようにして極限を求めます.
今回の問題でしたら,
lim {(2x^2+x-1)/(x-1)}
=lim{(4x+1)/1}=-3

となります.

お礼

m234023bさま、御回答ありがとうございました。
ロピタルは聞いたことがありましたが、よくしりませんでしたので今回勉強させていただきました。

まず、訂正ですが、「F(x)=(2x^2+x-1)/(x-1)のｘ→１とｘ→－１のときの極限」ではなく、＃３さんがおっしゃっているように「「x→1 と x→-1」というのは「x→1+0 と x→1-0」」の間違いでした。すみません。

今回の問題御回答読ませていただきましたが、ちょっとわからないところがあります。「今回の問題でしたら,
lim {(2x^2+x-1)/(x-1)}
=lim{(4x+1)/1}=-3」とのことですが、これは逆算するとＸ→-１のときということですか？でも、解答のグラフをみるとそうなっていないような・・・。

たとえば、Ｘ→+１のときは、
lim {(2x^2+x-1)/(x-1)}
=lim{(4x+1)/1}=５？ですか？

私なんだかおかしいですね？

でも、おっしゃるようなロピタルが、「極限をとったときに,∞/∞や,0/0のような不定形になるときは」という条件だと、今回は、極限Ｘ→+1のとき、２/0なので、ロピタルは使えないということでしょうか？

度々の質問で申し訳ありませんが、私のどこが間違っているのかご指摘いただけませんか？よろしくお願いいたします。

回答No.1

freedomshu

この関数のグラフは直線ｘ＝１が漸近線になっていることはわかると思います。

x→＋1の場合は　(分子）→２(有限値）
　　　　　　　　(分母）→０
となりますが、これを　（有限値）/（ものすごく小さい数）と考えるとわかりやすいかと思います。
気をつけるべきは符号です。この場合はｘ→+1なので分母、分子ともに正なので極限は∞にとぶと思います。

ｘ→－１の場合も同様に符号に注意して極限を求めると、－∞にとぶと思います。

グラフを書くだけならこれで十分と思います。
増減表からイメージしてみてください。

お礼

freedomshuさま、御回答ありがとうございました。
まず、訂正ですが、「F(x)=(2x^2+x-1)/(x-1)のｘ→１とｘ→－１のときの極限」ではなく、＃３さんがおっしゃっているように「「x→1 と x→-1」というのは「x→1+0 と x→1-0」」の間違いでした。すみません。
教えていただいた方法、わかりやすかったです。でも、これをどのように式にしたらいいのですか？グラフを書くだけといっても式にする必要があるのですが・・・。考え方はわかりましたが・・・