実数解の個数を求める式の変形において

質問

x^3-x^2-kx-(k+4)=0

ここでkは実数の定数とするとき、異なる実数解の個数を求めよ。

とありました。講義で覚えたのがとりあえず左辺=定数
という形に変形してグラフを書いて求めるのが最も簡単である。
と言われたので、とりあえず
(x^3-x^2-4)/(x+1)=k

という形まで変形してあとは一回微分を行い増減表を書いて求めました。

とりあえず答えはあっていたのですが駄目だと言われたところが、

f(-1)で≠0を示してないよね。

と言われました。
ここが質問です。

当然、今回の式は分数の式なので、何よりも分母ゼロはルール違反だというところまではわかっています。

しかし、だからと言ってなぜ、f(-1)=-4より、f(-1)≠0なので
という文言が必要なのかの理解が恥ずかしながらできていません。
単に
(x^3-x^2-4)/(x+1)=k
で、分母はゼロじゃないからそのまま増減表の記入に移行してはいけないのでしょうか？

多分、そうとう重要なことを理解してないで答えだけあってるという一番よくない解法をしていると存じます。

ご指導よろしくお願い申し上げます。

回答No.2

mitoneko · ベストアンサー

数学というのは、厳密に定義された言葉と数式で、自分の求める結果やルールを導き出していく過程です。そして、書いていないことはやっていないことと同じと見なされます。かくして、数学の論証仮定では、良く、「＊＊＊は、＊＊＊により自明である」という表現が使われます。ちゃんとここも考えましたよという宣言であり、論証の完全な一部なんです。

　今回の問題では、xの定義域は、全実数域ですよね。
　そして、式を変形していった過程で、(x^3-x^2-4)/(x+1)=kと言う式にして、その式の上で解の個数を求めた。当然、この式では、xの定義域は、x=-1を除く全実数域です。
　問題では、xの全実数域で求めよとなっているのに、勝手に、xの定義域をx=-1を除くと変えてしまったわけです。じゃ、式の都合で取り除いた部分については、ちゃんと別の方法でそこが解なのか違うのかをちゃんと「明示」しておかないと、全実数域で求めたことになりません。
　それが、何も考えなくても明らかだというのなら、ちゃんと「自明である」という一言をつけないと、この論証では、x=-1に対して「考察していない」。つまり、不完全であるという事になるんです。
　「f(-1)=-4よりx=-1は解ではない」という一言を付け加えることで、xの全定義域に対して考察をしたと言うことになります。

　別の言い方をしてみましょう。
　「x=-1とそれ以外の場合についてわけて考える。」という文章で、この回答を始めます。
　x≠-1の場合は・・・・　この領域において、○個の実数解がある。
　よって、結果は、○個である。【終わり】

　とやったら、あれ？わけて考えると言ったのに、x=-1は何にも無し？この部分は放棄？ってなりますよね。わけて考えると宣言したんだから、例えどんなに簡単でも、ちゃんと書かないと、やったことになりません。
　ちゃんと、「x=-1の場合は、f(-1)=-4で実数解ではない。」と書いてはじめて、両方の場合について考えたことになります。
　あなたの回答で、「f(-1)=-4より、f(-1)≠0なので、x=-1は実数解ではない」の一言がないと、これと同じ事になります。

お礼

謎だったパートはもちろんのこと、文言がなければ論証していることになぜならないのかを大変丁寧にご指導、ご説明下さり本当にありがとうございます。

お陰様でようやく理解できました。
今後ともご指導よろしくお願い申し上げます。

回答No.4

178-tall

たとえば、
参考 URL (3 次方程式の解の個数について) の「例題 1 」の「解」をご覧ください。
　　　↓

参考URL：

http://inupri.web.fc2.com/biseki2/kaiko.pdf

回答No.3

jcpmutura

x^3-x^2-kx-(k+4)=0
を
とりあえず
(x^3-x^2-4)/(x+1)=k
という形まで変形したのがいけません

今回の式
x^3-x^2-kx-(k+4)=0
は分数式ではありません
分母0というよりも0割りがルール違反なのです

x+1が0かどうかも確かめずに
かってにx+1で割って分数式にしてはいけません

x+1で割ってから分母が0かどうか調べるのではなく
x+1で割る前にx+1=0かどうか調べるのです。

x^3-x^2-kx-(k+4)=0
x^3-x^2-4=k(x+1)

x=-1を仮定すると
左辺x^3-x^2-4=-6≠0=k(x+1)=右辺
と矛盾するから
x≠-1だからx+1≠0だから
x+1で両辺を割る事ができるから
両辺をx+1で割ると

(x^3-x^2-4)/(x+1)=k

ところで
f(-1)=-4
のf(x)はどの式の事をいうのでしょうか?
f(x)=x^3-x^2-kx-(k+4)
ならば
f(-1)=-1-1+k-k-4=-6
のはずですが

お礼

大変よくわかりました。
ありがとうございます。

回答No.1

tmppassenger

取り敢えず、問題が x^3 + x^2 - kx - k = 0だったらどうなるか、解答を作ってもらえますか？

お礼

ありがとうございました。