グラフの極限 大学受験

質問

f(x）＝（ｘ+１）^３/x^2のグラフを書く問題です。

f’(x)とf’’(x)は問題なくできてのですが、このグラフは、ｘ＝０で連続ではないと思いますので、x→＋０のときと、ｘ→ー０のときの極限を求めたいと思います。ｆ´´(x)の増減からみると、x→＋０のときと、ｘ→ー０のときは両方＋0になりました。でも、確認のため計算で求めようと思うと、０／０．有利化のようなのもできないので、困ってしまいました。
基本的なところで申し訳ないですが、教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

回答No.6

R_Earl · ベストアンサー

> このようにｘが０に近づくときの極限は＋から近づいても－から近づいても同じ極限に達するというのは、この問題だけでなく、一般的に言えるものなのでしょうか。

わざわざx→0+0とx→0-0での極限値を分けて考えるということは
この二つの極限値が一致しない場合があるからです。
例えば、g(x) = 1/xはx→+0でg(x)→+∞、x→-0でg(x)→-∞です。
この極限値を考える際には、g(x)のxに0を代入するのではなく、
xに+0、-0を代入すると考えましょう。

g(+0) = 1/(+0) = +1/0 → +∞
g(-0) = 1/(-0) = -1/0 = -(+1/0) → -∞

といった感じです。
今回のf(x) = {(x + 1)^3} / (x^2)についても同じように考えると、

f(+0) = 1/{(+0)^2} = 1/(+0) = +1/0 → +∞
f(-0) = 1/{(-0)^2} = 1/(+0) = +1/0 → +∞ （負の数(-0)の二乗は正の数(+0)と考える）

となります。

> たとえば、ｘ→－∞のときは、ｘ＝－ｔとおくと、ｔ→＋∞のとき・・・と置き換えて計算できますから・・・。

goodoさんの考えたこの方法はx→+0とx→-0の極限値を考えるのにも使えます。

x = -tと置くと、x→-0でt→+0。
f(x) = f(-t) = {(-t + 1)^3} / {(-t)}^2 = {(1 - t)^3} / (t^2)

こうしてやると

x→-0の時のf(x)の極限値 = t→+0の時のf(-t)の極限値

となります。-0の極限値を考えるのが嫌な場合はこうして
+0の極限値を考える問題に変えることができます。

お礼

R_Earlさま、御回答ありがとうございます。
初めて知る方法でした。大変貴重なアドバイスをありがとうございます。今、自分でやってみたら、おっしゃる方法でできました。一時的に理解しているだけかもしれませんが・・・。これから練習問題もこの方法で解いていきたいと思います。本当にありがとうございます。

回答No.5

shallbot

私もx→+0、x→-0の違いに悩んでいたのですが・・・
この二つは確かに答えが違ってくる場合があるようで・・・

グラフで考えるとわかりやすいらしいのですが・・・
この場合だと増減表からx=0の前後の傾きが出せるのでグラフのおおよその形が分かります。
それを考えると-∞になるのか+∞になるのかが分かると思うのですが・・・

どうでしょう＿|￣|○

お礼

shallbotさま、度々の御回答ありがとうございます。
私の悩みと同じことを考えておられる方もいらっしゃるということで心強いです。
私も増減表でだいたいの形はわかりますし、グラフの端も往々にして想像できます。でも、間違っているかの確認のためにも違う方法で確認したいと思っています。

貴重なアドバイスをありがとうございました。

回答No.4

shallbot

f(x)=(x+1)^3/x^2

f'(x)=x^3-3x-2/x^3

f'(x)=0となるのは
x^3-3x-2=0
(x+1)^2(x-2)

∴x=-1,2

・増減表
x　　|・・・|-1 |・・・| 0 |・・・| 2 |・・・|
f'(x) | + | 0 | - | ×| - | 0 | + |
f (x) | ↑| 0 | ↓| ×| ↓|27/4| ↑|

・極限を調べる

lim f(x) =∞
x→∞

lim f(x) =-∞
x→-∞

不連続となる点の前後は必ず±∞
(x→-0=-∞、ｘ→+0=∞)

・f(x)=(x+1)^3/x^2=0となるのは
x=-1

∴x=-1のときX軸と交わる

グラフ略

お礼

度々のご回答ありがとうございます。
質問のｘ＝０の前後ですが、マイナスから０に近づくときも、＋から０に近づくときも＋∞になると思います・・・。

ここでちょっと質問なのですが、ｘ→＋∞のときとx→－∞のときは、同じ方向に発散するとは限らないですよね？たとえば、ｘ→－∞のときは、ｘ＝－ｔとおくと、ｔ→＋∞のとき・・・と置き換えて計算できますから・・・。

でも、ｘ→０＋０と、ｘ→０－０のときって同じになるのでしょうか？というのも、今回計算していたら、ｘ→０のとき、f(x)に０を代入すると＋から近づこうが、－から近づこうがまったく同じ式になりますよね？

このようにｘが０に近づくときの極限は＋から近づいても－から近づいても同じ極限に達するというのは、この問題だけでなく、一般的に言えるものなのでしょうか。それともこの問題だけなのでしょうか。でも、式にゼロを代入することを考えるとどんなf(x)に対してもいえるのでしょうね？

回答No.3

R_Earl

> でも、確認のため計算で求めようと思うと、０／０．有利化のようなのもできないので、困ってしまいました。

f(x) = (x^2)分の{(x + 1)^3}ですよね？
x→0で0/0にはならないと思います。
(x + 1)^3のxに0を代入すると(0 + 1)^3、
つまり1になります。
x^2のxに0を入れると0です。
という事はx→0で、f(x）→ 1/0の形になります。
これは∞に発散しますよね？

お礼

ご回答ありがとうございます。
回答を読ませていただいて、あ・・・と。

ただの計算間違いでした。
ご指摘どうもありがとうございました。
すみませんでした。

回答No.2

shallbot

というか私も解けません＿|￣|○

回答No.1

shallbot

f(x)=(x+1)^3/x^2

f'(x)=x^3-3x-2/x^3

f'(x)=0となるのは
x^3-3x-2=0
(x+1)^2(x-2)

∴x=-1,2

増減表
x |・・・|-1|・・・| 2 |・・・|
f'(x) | - | 0| - | 0 | + |
f (x) | ↓| 0| ↓|27/4| ↑|

極限を調べる

lim f(x) =0
x→∞

lim f(x) =0
x→-∞

f(x)=(x+1)^3/x^2=0となるのは
x=-1

∴x=-1のときX軸と交わる

残念なことにグラフは書けません＿|￣|○

お礼

ご回答ありがとうございます！
なんだか困らせてしまったみたいですみません。
ｘ→＋∞のときは＋∞、ｘ→－∞のときは、－∞ですね・・・。ｘ＝-１のとき、確かにｘ軸と交点をもちます。

ご回答ありがとうございます。