フーリエ級数の展開

質問

An=2/4∫（０→４）i(t)sin(nωt)dt
Bn=2/4∫（０→４）i(t)cos(nωt)dt

i(t)=0:0≦t≦１
=(2-t)Im:1≦ｔ≦２
=0:2≦ｔ≦3
=（ｔ－４）Im:3≦ｔ≦4

以上のような関数を展開したとき、

Ａｎ={ {1/(nω）}sin(2nω)-{2/(n^2ω^2)}sin(5nω/２)sin(nω/2)}Imsin(nω)

Bn={ {1/(nω）}cos(2nω)-{2/(n^2ω^2)}sin(nω/２)cos(5nω/2)}Imsin(nω)

となるそうなのですが、いくら計算してもこのような形になりません。
三角関数同士の積の形にすら辿り着けず苦戦しております。
計算過程や注意点を教えていただければ幸いです。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足の質問の回答

>sin3nω＋sinnω－sin2nω－sin4nω
=sin(2nω+nω)+sin(2nω-nω)-sin(3nω-nω)-sin(3nω+nω)
=sin(2nω)cos(nω)+cos(2nω)sin(nω)+sin(2nω)cos(nω)-cos(2nω)sin(nω)
-sin(3nω)cos(nω)+cos(3nω)sin(nω)-sin(3nω)cos(nω)-cos(3nω)sin(nω)
=2sin(2nω)cos(nω)-2sin(3nω)cos(nω)
=2cos(nω){sin(2nω)-sin(3nω)}
=2cos(nω){sin((5nω/2)-(nω/2))-sin((5nω/2)+(nω/2))}
=2cos(nω)[{sin(5nω/2)cos(nω/2)-cos(5nω/2)sin(nω/2)}
-{sin(5nω/2)cos(nω/2)+cos(5nω/2)sin(nω/2)}]
=2cos(nω){-2cos(5nω/2)sin(nω/2)}
=-4cos(nω)cos(5nω/2)sin(nω/2)

これで積の形になりました。

回答No.1

info22_

i(t)の基本周期T=4なのでフーリエ級数展開式は

i(t)=A0/2+Σ(n=1～∞)An cos(nπt/2) +Σ(n=1～∞)Bn sin(nπt/2)

となります。
フーリエ展開係数は
　A0=(2/4)∫[0→4] i(t)dt=0
n≧1の整数のときのフーリエ展開係数An,Bnは
　An=(2/4)∫[0→4] i(t)cos(nπt/2)dt
　　=(1/2)∫[1→2] (2-t)cos(nπt/2)dt+(1/2)∫[3→4] (t-4)cos(nπt/2)dt

　Bn=(2/4)∫[0→4] i(t)sin(nπt/2)dt
　　=(1/2)∫[1→2] (2-t)sin(nπt/2)dt+(1/2)∫[3→4] (t-4)sin(nπt/2)dt

を計算すれば得られます。

補足

ありがとうございます。
質問の主旨とは若干異なるのですが、級数を展開したとき
sin3nω＋sinnω－sin2nω－sin4nωのように複数の三角関数の和を
積の形に変換する場合はどうすればよいのでしょうか？