全波整流のフーリエ級数展開

質問

振幅Vの全波整流をフーリエ級数展開したら下のようになりました。これでいいのでしょうか？

f(t)=Vsint (0<=t<=π) f(t)=-Vsint (π<=t<=2π)

An=1/π∫ [0<=t<=2π]f(t)(cosnt)dt

=V/π∫ [0<=t<=π](sint)(cosnt)dt + V/π∫ [π<=t<=2π](-sint)(cosnt)dt

=V/π[{1-cos(n+1)π}/(n+1)+{1-cos(n-1)π}/(n-1)]

Bn=0

よって、f(t)=2V/π{(1/3+1/1)cos2t + (1/5+1/3)cos4t + (1/7+1/5)cos6t・・・}

f(t)=2V/πΣ[n=1,∞]4n/(2n+1)(2n-1)cos2nt

もしどこか間違っていたら指摘してください。

回答よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

Anを求めるときに
(1)n=0の場合(A0)を別に扱わなかったため展開式に直流分（平均値）がなくなってしまっている。
　全波整流波形に直流分（平均値）は含まれていますから、明らかに間違いということに気付かなくては駄目ですね。

(2)n=1の場合(A1)を別扱いにしなかったため、
>=V/π[{1-cos(n+1)π}/(n+1)+{1-cos(n-1)π}/(n-1)]
と(n-1)=0で平気で割り算してる式を書いている。
この式はn≧2で行うべき計算です。

結果のf(t)の展開式は
　直流分（平均値）を計算して加えないと間違い。
　↓Anの計算も間違ってる。
> =V/π[{1-cos(n+1)π}/(n+1)+{1-cos(n-1)π}/(n-1)]
以上の２つの間違いのため
以下の2式も間違いです。
>よって、f(t)=2V/π{(1/3+1/1)cos2t + (1/5+1/3)cos4t + (1/7+1/5)cos6t・・・}
>f(t)=2V/πΣ[n=1,∞]4n/(2n+1)(2n-1)cos2nt

正しい計算結果は
　f(t)=(2V/π)-(4V/π)Σ[k=1,∞] cos(2kt)/((2k)^2-1))

お礼

回答ありがとうございました！！おかげで助かりました！！