xの指数にｘを含む不等式

質問

x^(2x^3-3x^2)＞x^(3x-2)（ｘ＞０）
この不等式をときたいのですが、
底をｘとする対数ってとれるのでしょうか？
もしとれるとすると
2x^3-3x^2＞3x-2　となり
この不等式をとけば求める範囲が出るということになるのでしょうか？
教えていただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.2

postro · ベストアンサー

指数関数の性質を思い出してください。
y=2^xは増加関数で、y=(1/2)^xは減少関数。だから場合分けします
0＜x＜1 のとき
x^(2x^3-3x^2)＞x^(3x-2)　⇔　(2x^3-3x^2)＜(3x-2)
1＜x　のとき
x^(2x^3-3x^2)＞x^(3x-2)　⇔　(2x^3-3x^2)＞(3x-2)
（x=1 ではこの不等式は成立しないことはチェックする必要あり）
答えは（多分）　1/2＜x＜1　　、2＜x

回答No.4

debut

x>0の範囲で、2x^3-3x^2=f(x)、3x-2=g(x)のグラフをかいて交点など
求めると、
0<x<1/2で、f(x)>g(x)
x=1/2,2で、f(x)=g(x)
1/2<x<2で、f(x)<g(x)
2<xで、f(x)>g(x)
これらのことと、x=1のときx^(2x^3-3x^2)=x^(3x-2)となること、指数の
性質で、
0<x<1/2のとき、x^{f(x)}<x^{g(x)}・・×
x=1/2,1,2のとき、x^{f(x)}=x^{g(x)}・・×
1/2<x<1のとき、x^{f(x)}>x^{g(x)}・・○
1<x<2のとき、x^{f(x)}<x^{g(x)}・・×
2<xのとき、x^{f(x)}>x^{g(x)}・・○
というのはどうでしょうか？

お礼

4人の方々回答ありがとうございました。
おかげでよくわかりました

回答No.3

hh69

x>1の時とx<1の時で場合分けが必要です(x=1の時は両辺とも1となり不等式は成立せず）。x>1の時は質問者様の書いたとおりで大丈夫です。
x<1の時は、底をxとする対数を取った時に、符号が逆転することに注意してください。これは底が1より小さい時の対数関数は単調減少になることに起因しています。
ややこしければ底を10ないしはeとして対数をとってみればよくわかります。例えば底をeとして問題の式の対数をとってみると、logxは単調増加の関数なので、
(2x^3-3x^2)logx>(3x-2)logx
となり、x<1ならlogx<0より、
2x^3-3x^2<3x-2
になります。

厳密には上に書いたような説明でいいと思いますが、直感的には1より大きい数はべき乗の数が大きいほど大きくなり、1より小さい数はべき乗の数が大きいほど小さくなるということです。例をあげるならば、
2^4>2^3
0.1^4<0.1^3
です。

回答No.1

endlessriver

とれますけど。logは単調増加だし。
x^a>x^b(x>0)の対数を取ると
alogx>blogx
でx>1なら質問者さんのとおり。x<1ならlogx<0に注意。x=1なら問題そのものが成立せず。