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対数不等式の範囲について
- 対数不等式の範囲についての質問です。解答として、真数の条件式が異なる2つの範囲が示されていますが、どちらが正しいのか確認したいとのことです。
- 問題では log2 x(x-2) < log2 8 の不等式が与えられており、解答として２つの範囲が示されていますが、正しい範囲はどちらなのか疑問です。
- 解答では、真数の範囲が x<0 , x>2 であるとするものと x>0 かつ x>2 であるものの２つの範囲が示されていますが、どちらが正しいのか不明です。
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(1)が正しいです。 以下、底を省略して書きます。 logAB=logA+logBという式を使われたのだと思います。・・・※ この式変形（左辺から右辺）が可能なのは、logAとlogBが真数条件Ａ＞0かつＢ＞0を満たしていることが条件となります。 ですので、問題の設定ではlogx(x-2)=logx+log(x-2)と変形した時点で、真数条件がx>0かつx-2>0と厳しくなってしまいます。 ここではlogx(x-2)の真数条件を考えればいいだけですので、x(x-2)>0よりx<0,2<xとするだけでよく、※を使って変形したそれぞれの対数の真数条件x>0かつx-2>0ではこの問題に関しては条件が厳しすぎるということです。 具体的に(1)の結果から出たx=-1を考えると、 logx(x-2)=log(-1)(-3)=log3で真数条件を当然満たしています。 一方、(2)のように変形してしまうと、 logx(x-2)=logx+log(x+2)=log(-1)+log(-1+2)となり真数条件を満たしません。 これは式を左辺から右辺に変形するさいにx>0,x-2>0という条件が前提にあるからです。 ※式をつかって変形する際にはＡ＞0、Ｂ＞0という真数条件が前提となります。この問題の場合その前提はありませんから、(1)で計算するのが正しいということです。
その他の回答 (3)
- MarcoRossiItaly
- ベストアンサー率40% (454/1128)
皆さんのご回答を読んでもうお分かりと思いますが、要するに、「log2 x + log2 (x-2)」と分解してしまった時点で、既に失敗。「log2 |x| + log2 |x-2|」と書けば、まあ分けられるわけですが、正だの負だの、場合分けが多くてうっとうしいので、(1)のように単純に2次関数で考えたほうがラクそうですね。
- birth11
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(1) の回答の流れは正しい。 答えも正しい。 (2) のパラドックスは log2 ( x ( x - 2 )) を分解するとき x ( x - 2 ) > 0 が x = - 1 ( < 0 ) のときも成り立つにもかかわらず、 log x を 使ってしまったところににある。 以上。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
(1) が正しい.
