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不等式
xについての２次不等式2a*(x＾2)＋2bx＋1≦0について この不等式が解をもたないようなa,bについての条件を求める問題で 2a*(x＾2)＋2bx＋1≦0の解が存在しないことを考える時 どうして2a*(x＾2)＋2bx＋1＞0と考えるのですか？ また2a>0なのでしょうか？
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されど・・・ ーーー ２Ａ（Ｘ＾２）＋２ＢＸ＋１≦０ ＃１ ＜２次不等式＞とかいてあれば、解答にすぐさま、 Ａ≠０ と書く。書かないと誤答。 ーーー また、 （Ｘ＾２）の係数が文字であれば、ただちに＜場合分け＞と判断する。 場合分け不要と判断出来ればＢＥＳＴ。 ーーー ＃２ Ａ＞０のとき Ｆ（Ｘ）＝２Ａ（Ｘ＾２）＋２ＢＸ＋１≦０ グラフをＩＭＡＧＥし、判別式負と感ずる。 （判別式が負でないならば、解を持つでも可） 判別式（その２）より、 Ｂ＾２－２Ａ＜０ ーーー ＃３ Ａ＜０ のとき このままやるならば、 Ｆ（Ｘ）＝２Ａ（Ｘ＾２）＋２ＢＸ＋１≦０ ＃２と同一 このままでは、不都合であるならば、 Ｇ（Ｘ）＝ー２Ａ（Ｘ＾２）ー２ＢＸー１≧０ として思考し、やはり ＃２と同一 ーーー ＃１＃２＃３より 解は Ｂ＾２－２Ａ＜０ ーーー ＞＞2a*(x＾2)＋2bx＋1≦0の解が存在しないことを考える時 どうして2a*(x＾2)＋2bx＋1＞0と考えるのですか？ これは、考え難いです。 Ａ＞０のとき、グラフが常にＸ軸より上にあると考えます。 Ａ＜０のとき、グラフが常にＸ軸より下にあると考えます。 結果は同じ式になりますが、 場合分けせずに判断は困難です。 質問の意味はＡ＞０のときのみ成立です。 ＞＞また2a>0なのでしょうか？ これに答える事が、この投稿の目的です。 当然ながら、２Ａ＞０とは限りません。 ２Ａ＜０ の場合の考慮が必要です。 しかるに本問題は、両方を一緒にして解答出来る点が、 ややこしいというならば、そのとうりです。 曖昧な場合は、無駄であっても＜場合分け＞した方が賢明です。 これが言いたいために、＜無駄な解答を示しました。＞
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- leap_day
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こんにちは 方程式(不等式)の解は y=0 のときのxの値・・・つまりx軸と式のグラフの交点がその方程式(不等式)の解となります 解をもたないということはx軸と交わらないということです まずはこのことを念頭においておいてください 次に式を見ます。この場合 2ax^2 + 2bx + 1 ですね これにxの値を入れていくと x=0 のとき 1 となります つまりこの式のグラフは必ず (0,1) を通るということになります ・・・ということは上に凸のグラフであればどうやってもx軸との交点が発生してしまいます 故に 2a > 0 (下に凸のグラフにしなければなりません） 冒頭にかえってx軸との交点がその式の解になるので f(x)= 2ax^2 + 2bx + 1 とすると 解を持たない ＝ x軸と交わらない ということですので f(x) > 0 となっていなければなりません したがって f(x)= 2ax^2 + 2bx + 1 > 0 となります 一応どうしてなるか聞かれてるので解法については触れていませんｍ（－－）ｍ とりあえずHintだけ ・式のグラフは上に凸か、下に凸か（x^2の係数は正か負か） ・頂点のｙ座標がどの位置にあればよいか(この問題の場合、x軸と交わらないようにするには何処にあればよいか） -->こちらはNo.1,No.3の方のように判別式で求めてもいいです
- beans89
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与式≦0とならない場合を考えるので与式＞0になる、つまりＸ軸より上側にグラフがあり、Ｘ軸とは交わりません。すなわちグラフは増加していくので必然的に下に凸のグラフになり、係数＞0となるわけです。もし、グラフはＸ軸より上側にあるはずなのに上に凸のグラフであれば、当然グラフはＸ軸と交わって解が発生してきますよね。ということで上記のようになるわけです。わかりづらかったらごめんなさい。
- Suue
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もしｆ（ｘ）＝2a*(x＾2)＋2bx＋1 としたとき、この関数が２次関数になることはわかると思います。 また、「ｆ（ｘ）≦０にならない」ことを考えるので、これは「つねにｆ（ｘ）＞０」ということになります。 ということは、この関数ｆ（ｘ）がどんなｘについても正の数であることなので、 （１）2a＞０ （放物線が下に凸であるための必要十分条件） （２）ｆ（ｘ）＝０の解の判別式が負の数 （放物線がｘ軸と交わらないための必要十分条件） となります。あとは（１）と（２）同時に満たすようにすれば題意を満たします。
お礼
とても参考になりました。 どうもありがとうございます