指数・対数についての質問です。

質問

指数・対数についての質問です。

不等式log3(x-4)-log9(2x)<0 という問題を
解きたいのですが、私の持っているどの参考書を見ても
log□(□の中は数字.この問題の場合の3,9のようなもの)の
値が違う類似問題が載っていません。

解法がわかりません。
log□の値の違う等式の解き方について
教えていただけたら幸いです。

回答No.3

Kules · ベストアンサー

ANo.1のKulesです。
>なぜ、「対数の中身はプラスじゃないといけない」のかがよく解りませんでした。

一言で言ってしまうと「そんな数字は存在しないから」ということになるんですが、
これだとあまりにも説明不足なので…
まず、底がa、指数がbである時の答えがcだとすると、a^b=cとなります。
底がA、logの中身がBであることをlog{A}(B)と表現するならば、
先ほど書いたa^b=cに対してlog{a}(c)=bと書けます。
ということで、対数は「底を何乗したら答えになるか」というものを表していることになります。
例えばlog{2}(8)=3というのは、「２を何乗したら８になるかというと…3です☆」と言ってることになります。
ところで、底は正の数で、しかも1はだめってのが条件にあると思います。これは、
・1は何乗しても1だから意味がない
・マイナスの数字だと、例えば0.5乗すると虚数になってしまうので嬉しくない
といった感じの理由で底には条件が付いてるんだな…ぐらいに思っておけばいいです。
で、底がプラスの値ということは、どれだけ掛けてもプラスの値にしかならないということを表しています。
(これは、指数関数のグラフを描いた時、x軸よりも下にいかないことからもわかります。)
ということは、プラスの数字を何乗してもマイナスにならないのですから、先ほどの例でいうと、
「2を何乗したら-2になるかというと…ならねーよ！」という答えになるので、そもそもそんなものを
対数の中身に入れちゃだめだよね。ってことで対数の中身は正の値じゃないといけないということになっております。
ちなみにANo.2さんへの補足で
>以上より…以降、どういう解き方なのかが理解できないので
とありましたのでそちらも少しだけ説明すると、
x - 4 > 0　かつ　2x > 0　かつ　log[底は3]{ (x-4)/√(2x) } < 0　
とありますが、
1つ目の不等式…logの中身はプラスじゃないといけないので。
2つ目の不等式…logの中身はプラスじゃないといけないので。
3つ目の不等式…出題されている最初の不等式を底の変換公式などを使って変形したものです。これは参考書などの類似問題がたくさんあると思います。
で、底が1より大きい時log{a}(b)<log{a}(c)ならばb<cという関係があるので、それを使うと、
log{3}( (x-4)/√(2x) )<0*log{3}(3)=log{3}(3^0)=log{3}(1)なので、
(x-4)/√(2x) < 1
という不等式が出てきます。

以上、参考になれば幸いです。

お礼

何度も教えて頂き、ありがとうございました。
やっと解りました。最後までおつきあい頂きまして、感謝です。

回答No.2

alice_44

No.1 の解説に沿って、答えの丸教えを…

底の変換公式： log[底はa](b) = log[底はc](b) / log[底はc](a)
を使って、
log[底は9](2x) = log[底は3](2x) / log[底は3](9) = log[底は3](2x) / 2
= (1/2) log[底は3](2x) = log[底は3]{ (2x)^(1/2) }.

真数条件：　log[底はa](b) の b は、b > 0 でなくてはならない。
より、
x - 4 > 0,　2x > 0 という条件が付く。

以上より、
出題　⇔　x - 4 > 0　かつ　2x > 0　かつ　log[底は3]{ (x-4)/√(2x) } < 0　
⇔　x - 4 > 0　かつ　2x > 0　かつ　(x-4)/√(2x) < 1.

この後は、log とは関係ない。
丸教えは御禁制だから、感謝は No.1 にね！

補足

補足説明をお願いします。

以上より…以降、どういう解き方なのかが理解できないので、
もう少し詳しくお願いします。m(_ _)m

回答No.1

Kules

ん～参考書でもまず最初の解説の部分を読んでみると、
「底の変換公式」なるものが載ってませんか？

それを使って、両方の底を3に揃えてみることをお勧めします。

あと、対数の中身はプラスじゃないといけないということとかにも気をつけた方がいいと思います。

参考になれば幸いです。

補足

回答ありがとうございました。

「底の変換公式」はネットで調べ、なんとか理解しましたが、
なぜ、「対数の中身はプラスじゃないといけない」のかがよく解りませんでした。

済みませんが、もう少し教えて頂ければ嬉しいです。