不等式の範囲の絞り方

質問

今、重積分の問題をやっているんですが、
積分区間の次の範囲の絞り方がわかりません。

x≧0,y≧0,z≧0,x+2y+3z≦6

この不等式において、
xをzとyで表した範囲、yをzで表した範囲、またzの範囲を求めたいです。
わかる方お願いします！

回答No.2

koko_u_ · ベストアンサー

>ちなみに問題は∫∬ydxdydz D:{(x,y)|x≧0,y≧0,z≧0,x+2y+3z≦6}で
ばか正直にまずは x で積分するため、(y, z)は固定すると

x >= 0, x <= 6 - 2y - 3z

重要なのは、これが x の「積分範囲として意味がある (y, z) は何時か？」ということだ。
簡単に 0 <= 6 - 2y - 3z の時であることがわかるだろう。

したがって 与式 = ∫∫ y{ 被積分関数 1 の 0 から 6-2y-3z までの積分 }dydz = ∫∫ y(6-2y-3z)dydz で、
積分領域は {(y, z) | y >= 0, z >= 0, 0 <= 6 - 2y - 3z } 以下同様

お礼

再び丁寧に教えてくださってありがとうございました！
おかげで不等式の扱う上での考え方がよくわかりました。
今後も参考にしていきます。

回答No.1

koko_u_

ただの三角錐なので、x, y, z の順に積分していくだけだと思われます。

補足

その場合は、
xについての積分を0≦x≦6-2y-3z
yについての席分を0≦y≦3
zについての積分を0≦z≦2
でやればいいんでしょうか？
僕はこれで問題を解いて答えが合わなかったんですが…
ちなみに問題は∫∬ydxdydz D:{(x,y)|x≧0,y≧0,z≧0,x+2y+3z≦6}で
答えは9/2みたいです。