一次結合について

質問

ベクトルa≡(a1,a2),ベクトルb≡(b1,b2)である時，任意のベクトルx≡(x1,x2)はベクトルa,bの一次結合で一意に表せる事を示せ。（正し，幾何学的な解答は無効）
という問題において，以下のように解いて見たんですが

x=pa+qb,x=p'a+q'b と２通りで表されるとすると
pa+qb=p'a+q'b
(p-p')a+(q-q')b=0(0ベクトル)
a,bは一次独立なのでa,bの係数は0(0以外はa,bが一次従属になるので)
つまり
p-p'=0,q-q'=0
p=p',q=q'
となるので，任意のベクトルx≡(x1,x2)はベクトルa,bの一次結合であると言える。
となりました。申し訳ありませんが解答・解説をお願いします。

回答No.4

koko_u_ · ベストアンサー

>となりこの連立方程式を行列に直すと
>(a1 b1)(p) (x1)
>(a2 b2)(q) (x2)=0

ちがう。

>(p　q)=(0 0)は自明な解なので，(略)
>が逆行列をもつことになる。

意味がわかりません。

前提がいったい何で、何を示したいのかがわかりません。

回答No.3

koko_u_

>内容的におかしいでしょうか？
おかしいです。

>x=pa+qb,x=p'a+q'b と２通りで表されるとすると
この書き出しはどう考えても、その後の展開が「よって表現方法は一意」と続くそれです。
そして、別途 x が a, b の一次結合で表現できることを示さなければいけません。

お礼

すいせません。時間が掛かりましたが，再度考え直してみました。
補足がなかったので，お礼のトコに書きます。

x=pa+qbとおく。
すると
x1=pa1+qb1
x2=pa2+qb2
となりこの連立方程式を行列に直すと
(a1 b1)(p) (x1)
(a2 b2)(q) (x2)=0
※上手く行列表記が出来ませんが，(a1 b1)(a2 b2)・(p)(q)・(x1)(x2)はそれぞれ上下が繋がっています。
となり，(p　q)=(0 0)は自明な解なので，すると行列
(a1 b1)
(a2 b2)
が逆行列をもつことになる。よって
(a1 b1)
(a2 b2)
が持つ条件は，行列式が
|a1 b1|
|a2 b2|≠0
となればよいので，a1b2-a2b1≠0
となり，任意のベクトルx≡(x1,x2)はベクトルa,bの一次結合であると言える。
ではどうでしょうか？

補足

では，どのように書けば良いんでしょうか？

回答No.2

koko_u_

とりあえず、

>x=pa+qb,x=p'a+q'b と２通りで表されるとすると
(中略)
>任意のベクトルx≡(x1,x2)はベクトルa,bの一次結合であると言える。

は日本語としてもおかしいですよね。
「一次結合で表せる」ことを示したいのですか？それとも「一意である」ことを示したいのですか？それとも両方？

補足

両方のつもりだったんですが，内容的におかしいでしょうか？

回答No.1

koko_u_

ベクトル a, b に条件は何もナシなんですか？

>a,bは一次独立なので
これは何処からやってきたのですか？

補足

すみません。その前の問題で，ベクトルa≡(a1,a2),ベクトルb≡(b1,b2)が一次独立であるためのa1,a2,b1,1b2の条件を求めよ。という設問がありました。
内容は省略しますが，a1b2-a2b2≠0という条件になりました。
重ね重ね申し訳ありませんが，よろしくお願いします。