偏微分とエルミート共役

質問

運動量演算子Ｐを用いて、固有値方程式
　P|p>=p|p>
と表せるとき、Ｐを座標表示で書くと
　P=-ih~∂/∂x　　　（h~　はエイチバーです）
であることを用いて、
　-ih~∂/∂x|p>=p|p>
ですが、ここでこの方程式の両辺のエルミート共役の式に書き換えると、
　｛-ih~∂/∂x|p>｝^†=｛p|p>｝^†
　⇔ih~<p|(∂/∂x)=p<p|
となると思ったのですが、実際は
　ih~∂/∂x<p|=p<p|
のようでした。
どうしてｘでの偏微分（という演算子）は＜ｐ｜というブラと入れ替わらないのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.4

eatern27 · ベストアンサー

#1です。すいません、書き方が悪かったですm(_ _)m

基本的には#3さんの仰るような理由で、
>　-ih~∂/∂x|p>=p|p>
>　ih~∂/∂x<p|=p<p|
という式は成り立たないはずなので、こう思った理由というか、こう書いてあった部分の前後の文脈を聞きたかったんですよね^^;

ま、#3さんのご回答で解決していたらもう必要ないですが。

・・・という事だけ書くのもアレなので、#3さんのご回答とはかぶらない事を書いておきます。

|x>を位置演算子の固有値の固有状態(ではなくても、パラメータｘに依存する状態たちであれば何でもいいが)として、(∂/∂x) |x>の†をとる事を考えます。

この微分の定義は、
lim (|x+ε>-|x>)/ε
ですので、†をとると、
lim(<x+ε|-<x|)/ε＝(∂/∂x)<x|
となるという事は容易に理解できるでしょう。

ま、|x>を微分しているんですから、†をとっても<x|が微分されてなきゃおかしいですよね。

お礼

前後の文脈もなにも、私の勝手な思い込みから出た式でしたorz
ご指摘頂いて本当に理解が深まりました。ありがとうございます。

微分の定義から考えるやり方は目から鱗でした！！
（いや、定義から考えるのは基本中の基本ですね…。勉強不足！）
確かにこう考えたら、微分はブラ、ケットから分離できないですね。
非常に明快な説明ありがとうございました！

回答No.5

ywkc

∂/∂xのエルミート共役は-∂/∂xです。マイナスです。
なぜそうなるのかは、量子力学の教科書を読みましょう。

補：もちろん遠方でゼロになる関数でなければうまく説明できません。
遠方でゼロになる関数だけでヒルベルト空間が構築されていると考えると、
Pの固有関数である平面波はそのヒルベルト空間に属さないので少々厄介ですね。
この先は超関数の話になりそう(?)なのでプロに聞いてください。

ともかく運動量演算子の位置表示-ih~∂/∂xのエルミート共役はih~∂/∂xではない。
-ih~∂/∂xのエルミート共役はそれ自身です。エルミート演算子ですね。

ついでに。
|p>や|x>は状態ベクトルで、pやxを変数とする関数ではないのでは？
それを好き勝手に微分することはナンセンスと思います。
あえて言うなら、
<x|P=-ih~∂/∂x<x|
です。
これは「どんなケット|>に対しても、演算子Pを作用させてからブラ<x|を掛けて位置表示にすることは、
ブラ<x|を掛けて位置表示にしてから微分演算子-ih~∂/∂xを掛けることと同じだ」という意味です。
不親切な教科書はこれを単にP=-ih~∂/∂xと書くので、混乱のもとです。

位置表示（座標表示）や運動量表示は#3さんのはじめの段落に書かれているとおりです。

お礼

＞∂/∂xのエルミート共役は-∂/∂xです。
最初に変に運動量演算子を持ち出したのは、実はコレを聞きたかったからなんです（＾＾；；
　-ih~∂/∂x
がどうして自己共役なのか、それもついでに訊こうと思っていました。
しかし、おっしゃる通り本を読んだらちゃんと書いてありましたね。。
証明は、部分積分のところでちょっと？が残りましたが、概ね理解できました。
アドバイス頂きありがとうございます。

＞|p>や|x>は状態ベクトルで、pやxを変数とする関数ではないのでは？
確かにその通りですね！　｜ｘ＞はｘの関数だと思い込んでいました。
冷静に考えれば、ケットの中は引数じゃないですね。
思い込みって本当に怖い…。

＞どんなケット|>に対しても、演算子Pを作用させてからブラ<x|を掛けて位置表示にすることは、
＞ブラ<x|を掛けて位置表示にしてから微分演算子-ih~∂/∂xを掛けることと同じ
この文章で表示というものをかなり飲み込めた気がします。
このまま一気にある程度まで理解を深めたいので、またしっかりと考えてみたいと思います。
ご回答ありがとうございました。

回答No.3

Jyaikosan

＞ケット（or固有値？）にも座標表示とか運動量表示というものがあるということなのでしょうか？
基底ベクトルとして位置演算子の固有ベクトル|x>を選んだときの成分(展開係数)が座標表示です。
また、運動量演算子の固有ベクトル|p>を選べば運動量表示になります。
固有値は単なる数なので表示には関係ありませんが、ケット|ψ>には座標表示も運動量表示もあります。
|ψ>の座標表示とは|ψ>の|x>成分ですから<x|ψ>のことです。
これは通常ψ(x)と書いて波動関数と呼ばれます。
同様に|ψ>の運動量表示は<p|ψ>ですがψ(p)と書いて運動量空間波動関数と呼ばれます。

演算子の座標表示とは演算子を左右から基底ベクトル<x|と|x'>ではさんだ行列成分のことです。
運動量演算子の座標表示は正確には<x|P|x'>=-δ(x'-x)ih~∂/∂x' です。
しかし積分によりデルタ関数は消えてしまいますから、結局運動量演算子Pを
-ih~∂/∂xと置き換えたものと同じ結果になります。

ご質問の固有値方程式
P|p>=p|p>　(1)
は左から<x|をかけることにより式全体が座標表示の方程式
<x|P|p>=p<x|p>→∫<x|P|x'><x'|p>dx' =p<x|p>→-ih~∂/∂x<x|p>=p<x|p>　(2)
になりますが、元の方程式(1)をどのように変形しても質問者さんがお書きになった
-ih~∂/∂x|p>=p|p>　(3)
の形にすることは不可能です。

(2)の座標表示の方程式は複素数ですからエルミート共役は単に複素共役と同じです。
複素共役をとると
ih~∂/∂x<p|x>=p<p|x>　(4)
になりますが、xに依存しない<p|にはxに関する微分は作用しませんから(4)は
ih~<p|(∂/∂x)|x>=p<p|x>　(5)
と書けないこともありませんね。

なお、元の演算子形式の方程式(1)のエルミート共役をとれば
<p|P=p<p|　(6)
です。

お礼

なるほど、やはり○○表示というものの認識が結構間違っていました。
大変分かりやすい説明で、かなり理解ができました！
量子力学、本当に難しいです・・・（＾＾；；
ご回答ありがとうございました。また機会があればよろしくお願い致します。

回答No.2

Jyaikosan

固有値方程式の中で演算子だけ座標表示ということはありえません。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
＃１の補足に書かせて頂いた通り、不必要な記述が蛇足になってしまいました。

さて、ご指摘頂いた点で質問させて頂いてもよろしいでしょうか？
＞固有値方程式の中で演算子だけ座標表示
ということは、ケット（or固有値？）にも座標表示とか運動量表示というものがあるということなのでしょうか？
それらの違いはどのような記述で表れているものなのでしょうか？

…固有値方程式というもの自体の理解がかなり足りないのでしょうね。。。
よろしければご回答くださればと思います。
よろしくお願い致します。

回答No.1

eatern27

おかしなところがある気がするのは気のせいかな。。。
とりあえず、何をやろうとしているのかさっぱりわからないので、前後の文脈をどうぞ。

補足

よくわかってない状態で、いろいろ書いてしまって
かえって分かりにくいことになってしまってますね。
申し訳ありません。

単刀直入に言うと、
　(AB)^†　=　B^†A^†
なのに、
　｛(∂/∂x)|ψ>｝^†　=　<ψ|(∂/∂x)^†
というようにならないのか、ということをお聞きしたかったのです。

偏微分は線形演算子ではないから、とか考えたのですが、
今の問題と関係あるやらないやら…？

偏微分が出るものと言えば、座標表示での運動量演算子だなと思い、
それを適当に使ってしまいました。
ご指摘くださってありがとうございます。

ということで、これできちんと質問になっているでしょうか？
よろしくお願い致します。