分かる限りで構わないのでお願いします。

質問

分かる限りで構わないのでお願いします。

x^,p^を座標および運動量演算子とし、次のユニタリー演算子を定義する。
(x^はxの上に^があるイメージで)
τ(a)=exp(-iap^/h) (aは実定数)

次の問いに答えて下さい。
（１）|x〉をx^の固有値xに属する規格化された固有状態とする；
x^|x〉= x|x〉, 〈x|x’〉=δ(x-x’).
正準交換関数[x^,p^]=ihを用いて、τ(a)|x〉もまたx^の規格化された固有状態であることを示し、この固有値求めて下さい。

（２）前問の結果を用い、任意の状態|Ψ〉に対し、
〈x|p^|Ψ〉=-ih(∂/∂x)〈x|Ψ〉
が成り立つことを示して下さい。さらにこの結果を用いて、
p^|p〉=p|p〉、〈p|p’〉=δ(p-p’)
で定義される規格化された運動量の固有状態|p〉に対し、その波動関数
Ψp(x)=〈x|p〉を求めて下さい。

（３）系が並進対称であるとき、ハミルトニアン演算子H^は空間並進演算子τ(a)によるユニタリー変換のもとで不変である
τ(a)H^τ(a)^-1=H^
このとき「量子力学における運動量保存則」；(d/dt)〈p^〉=0,が成立することを示して下さい。ただし、〈p^〉=〈Ψ|p^|Ψ〉は状態|Ψ〉におけるp^の期待値である。

回答No.2

yurih · ベストアンサー

すいません No.1 補足です。

ポイントは、運動量演算子は、空間の微小並進を表すということです。

古典力学でも、ラグランジアンが空間の微小な並進で不変という条件から、運動量保存則が導かれます。（ネーターの定理とかで検索するとたぶんいろいろ出てくる）

あと、(3)はSchrodingerの波動方程式を使っても示せます。

ヒントは〈p^〉=〈Ψ|p^|Ψ〉= ∫dx 〈Ψ|x〉〈x|p^|Ψ〉
(途中で部分積分すると、p^とH^の交換関係に持っていける。(2)をうまく使ってください。)

回答No.1

yurih

(1)
正準交換関係を使うと、

x^exp(-iap^/h) = exp(-iap^/h)x^+a*exp(-iap^/h)

(expを展開すると、(p^)^nの項が出てくるので、[x^,p^]=ihから[x^,(p^)^n]を求める)

これを使うと、x^[τ(a)|x〉] = x^exp(-iap^/h)|x〉

= [exp(-iap^/h)x^+a*exp(-iap^/h)]|x〉

= (x+a)exp(-iap^/h)|x〉

よってexp(-iap^/h)|x〉のx^による固有値は、x+a

規格化されてることは、τ(a)がユニタリであることから自明。

(2)
前半：exp(-iap^/h)|x〉= |x+a〉に注意。

〈x|p^|Ψ〉は、〈x|[exp(-iap^/h)-1]/(-ia/h)|Ψ〉の、

a→0の極限と同じであることに気付けば、(1)より、

〈x|[exp(-iap^/h)-1]/(-ia/h)|Ψ〉= -ih[〈x+a|Ψ〉-〈x|Ψ〉]/aとなり、

a→0での極限値は、-ih(∂/∂x)〈x|Ψ〉となる。

後半：前半の結果から、〈x|p^|p〉= -ih(∂/∂x)〈x|p〉

また、左辺はp〈x|p〉なので、p〈x|p〉= -ih(∂/∂x)〈x|p〉となり、

この微分方程式を解けば、〈x|p〉= exp(ixp/h)となる。

(3)
Heisenbergの運動方程式は、

ih(dp^/dt) = [p^,H^]

空間の並進対称性から、[p^,H^] = 0

(ちゃんと計算するとすると、τ(a)H^τ(a)^-1を展開してa→0の極限をとることで、p^とH^が交換することが分かる。)

よってdp^/dt = 0　(運動量保存)

以上です。どこかで計算まちがってるかもしれないけど。