波動関数が関係する期待値について

質問

期待値は、波動関数ψが規格化されているとすると
　<f(x)>=∫dxf(x)P(x)=∫dxψ*f(x)ψ
のようにあらわされると教科書に書いてありました。この場合、P(x)=ψ*ψであるようですが、そうすると
　<f(x)>=∫dxf(x)ψ*ψ
のようにあらわしてもよいことになります。f(x)=pつまりf(x)を運動量とするとき、運動量は演算子に置き換えることができますが、このような交換可能であるとするとどの関数に運動量演算子がかかっても結果は変わらない、ということになります。
これは明らかに違うのではないか、と思ったのですが、実際
　<f(x)>=∫dxψ*f(x)ψ=∫dxf(x)ψ*ψ
のようにしてもよいのでしょうか？

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

＞そうすると
＞　<f(x)>=∫dxf(x)ψ*ψ
＞のようにあらわしてもよいことになります。

それがならないんです．

＞<f(x)>=∫dxf(x)P(x)=∫dxψ*f(x)ψ

という書き方が問題と言えば問題なんですが，f(x)が微分演算子である可能性を考慮して演算子がおよぶ範囲を[]であらわすと，量子力学のルールは

<f(x)>=∫dx(ψ*)[f(x)ψ]

です．なぜかと言われると困るんですが．

演算子f(x)の複素共役をf*(x)とすると，

∫dx(ψ*)[f(x)ψ]=∫dx [f*(x)ψ*] ψ

が成り立つ演算子をエルミート演算子と呼び，量子力学では観測可能な量(オブザーバブル)の演算子はエルミートであることが“要請”されます．

回答No.4

ereserve67

>このような交換可能であるとするとどの関数に運動量演算子がかかっても結果は変わらない

この記述はよくわかりませんが．

fは一般には物理量を表す演算子です．f(x)がxだけの関数なら

(＊)<f(x)>=∫dxf(x)ψ^*ψ=∫dxf(x)|ψ|^2

としてもよいです．しかし，f(x)は一般には位置演算子xと運動量演算子pの関数f(x,p)であり，

f(x,p)=p=-ihbar∂/∂x

ということもあるのです．するとf(x,p)ψは単なる積ではなく，fψが一体のものであり，上記のような書き換えは許されません．f=pの場合なら

<p>=∫dxψ^*(-ihbar∂ψ/∂x)

としなくてはなりません．

一般に，ψは物理量を表す演算子fの固有関数ψ_nで展開され，

(☆)ψ=Σ_nc_nψ_n，|c_n|^2は物理系の状態が固有状態ψ_nにある確率

となります．ψ_nは固有値f_nに属する固有関数で

(★)fψ_n=f_nψ_n

が成り立ちます．物理量fはψ=ψ_n(c_n=1)のとき確実にf_nという値をとります．物理量は離散的な値をとるので離散スペクトルと言います．

物理量fの期待値は

<f>=∫dxψ^*fψ=∫dx(Σ_mc_mψ_m)^*f(Σ_nc_nψ_n)

=∫dx(Σ_mc_m^*ψ_m^*Σ_nc_n(fψ_n)

=∫dx(Σ_mc_m^*ψ_m^*Σ_nc_n(f_nψ_n)

=Σ_mΣ_nc_m^*c_nf_n∫dxψ_m^*ψ_n

ここで{ψ_n}は規格化直交系であるとすると，

∫dxψ_m^*ψ_n=δ_{mn}(Kroneckerのデルタ)

ですから，

<f>=Σ_mΣ_nc_m^*c_nf_nδ_{mn}

=Σ_nc_n^*c_nf_n=Σ_n|c_n|^2f_n（期待値の定義式）

質問者様の場合は例えばf=x×という演算子の場合でした．これの固有関数と固有値は何でしょうか．それは例えば一粒子系の物理系の場合，粒子が位置aにある状態を表す固有関数はδ関数

δ(x-a)（固有値aに属する固有関数）

です．なぜなら

x×δ(x-a)=aδ(x-a)

が成り立つからです．これが離散スペクトルの★に対応します．この場合aは連続値なので固有値は連続スペクトルになります．その場合の固有関数による一般の状態ψの展開はδ関数の定義式そのものです．

ψ(x)=∫dqψ(q)δ(q-x)：|ψ(q)|^2dqは粒子がq～q+dqに存在する確率

これは離散スペクトルの☆に対応します．xの期待値は

<x>=∫dxψ(x)^*xψ(x)=∫dxx|ψ(x)|^2

となります．同様に，fをxの関数f(x)に限定すれば＊となります．

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

他の回答に補足すると、通常波動関数は複素数を取り扱う為、エルミートであることが要求されるのです。

回答No.1

eatern27

f(x)がどう定義されているのか分かりませんが、
f(x)と表記されているのなら、f(x)はxの関数であって運動量演算子とかは含まれていないのでは。