分かる限りで構わないのでお願いします。

質問

分かる限りで構わないのでお願いします。

ハミルトニアン
H=(p^2/2m)+{(m・ω^2・x^2)/2}
で記述される１次元調和振動子を考える。ここで、座標x^,運動量p^は正準交換関係[x^,p^]=ihを満たすエルミート演算子であるとする。
a^={√(mω/2h)}・{x^+(ip^/mω)}とおくと
[a^,a^’]=1, H^=hω(N^+(1/2)), (N^=a^’a^), [N^,a^]=-a^, [N^,a^’]=a^’,
が成立する。これらの公式を用いて以下の問に回答して下さい。

(a^,x^,p^はそれぞれの文字の上に^があるイメージで。a^’はa^の右上に+があるイメージで。)

(1)任意の状態ベクトル |Ψ〉に対し、〈Ψ|Ψ〉≧0である事実を用いて、エルミート演算子N^の固有値が、非負の整数値となることを示して下さい。また、状態 |0〉を、
a^|0〉=0, 〈0|0〉=1
を満たすものと定義するとき、Nの固有値nの固有状態が |n〉:=N_n(a^’)^n|0〉と表されることを示して下さい。さらにエネルギー固有値も求めて下さい。

(2)(1)の固有状態 |n〉を 〈n|n〉=1と規格化するとき、規格化因子N_nを決定して下さい。

(3)公式〈x|x^|Ψ〉=x〈x|Ψ〉, 〈x|p^|Ψ〉=-ih・∂/∂x〈x|Ψ〉、などを用いて波動関数φ_n(x)≡〈ｘ|n〉を求めて下さい。
（ヒント：exp(ε^2/2)・exp(-ε/2)=d/dε-εを利用）

(4)規格化された固有状態|n〉に対する演算子x,pの行列要素
〈m|x^|n〉, 〈m|p^|n〉を計算して下さい。
（ヒント：まずa^,a^’の行列要素を求め、次にx^,p^がa^,a^’を用いてどのよに書けるか考える。）

回答No.1

lineage_of_kei · ベストアンサー

a^’エルミート共役の意味ですよね？
一番初めだけぱっと見でわかったので示します。他はやっぱしご自分で本をみることを勧めます。
調和振動載っている量子力学のテキストならだいたい載ってるはず。

(1)任意の状態ベクトル |Ψ〉に対し、〈Ψ|Ψ〉≧0である

これに対して、

〈Ψ|N^|Ψ〉=〈Ψ|a^’a^|Ψ〉=(〈Ψ|a^’) (a^|Ψ〉)

ここで　|φ〉=a^|Ψ〉　と新たに定義すれば、

〈Ψ|N^|Ψ〉=〈φ|φ〉≧0

一方 N^|Ψ〉=λ|Ψ〉 という固有関係を考える。これを上の式に放り込む。

〈Ψ|N^|Ψ〉=〈Ψ|(N^|Ψ〉)=〈Ψ|(λ|Ψ〉)=λ〈Ψ|Ψ〉≧0

ルール(1)より〈Ψ|Ψ〉≧0が必ず成立するので、自動的にλもλ≧0を満たす。

ゆえに演算子N^2の固有値は正の値しか取りえないと言える。

続きは頑張れ＾ｗ＾ノ