方程式の一般論

質問

一般論というと大げさなものですが。

「f(α)=0,g(α)=0　ならば　f(α)-g(α)=0」とはどういうことでしょうか。
さらに、二つの方程式を足したり引いたりしてできる方程式の解は元の方程式であるとは限らない。とあります。

自分のノートの隅にメモってあったのですが、思い出せないし、よくわかりません。
どなたか、具体例などを挙げ教えてください。

回答No.3

yoikagari · ベストアンサー

No.2の回答の
「たとえばf(x)=x^3+3x^2+3x+1,g(x)=x^2+2x+1とします。」
は
「たとえばf(x)=x^2+3x^2+2,g(x)=x^2+2x+1とします。」
の誤りです。

お詫びして訂正します。

回答No.2

yoikagari

できるだけ噛み砕いて説明します。

f(α)=0,g(α)=0　ならば　f(α)-g(α)=0となること

「式f(x)と式g(x)があります。
f(x)とg(x)にx=αを代入して0になる。
つまり、f(α)=g(α)=0となるとき
f(x)-g(x)にαを代入してみましょう。
f(α)-g(α)=0-0=0
よって、f(x)=0とg(x)=0が共通解x=αを持つとき
x=αはf(x)-g(x)=0の解にもなっているのです

たとえばf(x)=x^3+3x^2+3x+1,g(x)=x^2+2x+1とします。
方程式
f(x)=x^2+3x+2=0,
g(x)=x^2+2x+1=0
はx=-1を共通解に持ちます。
よってf(x)-g(x)=x+1はf(-1)-g(-1)=-1+1=0
となり、x=-1がf(x)-g(x)=0の解になっています。」

f(α)-g(α)=0　ならば　f(α)=0,g(α)=0とはいえないこと

「たとえばf(x)=x^2+4x+2,g(x)=x^2+3x+1のとき
f(x)-g(x)=x+1
この場合、x=-1がf(x)-g(x)=0の解になっています。

ところがf(-1)=-1,g(-1)=-1となりますので、x=-1は
方程式
f(x)=x^2+3x+2=0,
g(x)=x^2+2x+1=0
のいずれの解でもありません。」

同様に「f(α)=0,g(α)=0　ならば　f(α)+g(α)=0となること」や「f(α)+g(α)=0　ならば　f(α)=0,g(α)=0とはいえないこと」もいえます。

回答No.1

pocopeco

「f(α)=0,g(α)=0　ならば　f(α)-g(α)=0」

読んでの通り、f(α)=0,g(α)=0　の時は、f(α)-g(α)=0
が成り立ちます
0 - 0 = 0 です。

後半の　「二つの方程式を足したり引いたりしてできる方程式の解は元の方程式であるとは限らない」とは、
「f(α)-g(α)=0　ならば　f(α)=0,g(α)=0」とは限らない。という事です。

例えば、　f(a)=a^2 +2a +4 ,g(a)=a^2 とすると、
f(α)-g(α)=0　のとき、2a+1=0 →　a=-2
このとき
f(α)=4
g(α)=4
なので、
「f(α)-g(α)=0　ならば　f(α)=0,g(α)=0」とはならないのです。