2次方程式

質問

xの2次方程式　x^2-2px+p=0 （pは実数の定数）

2α-1,2β-1を解にもつxの2次方程式のうち、x^2の係数が1であるものをf(x)=0とする。

()、　f(x)をpを用いて表せ。

()、　g(x)=x^2-2px+pとするとき、xの４次方程式f(x)*g(x)=0の異なる解の個数がちょうど3になるようなpの値を求めよ。

この二つの問題ができません。
途中計算も含め教えてくださる方、お願いします。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

解と係数の関係から、α＋β＝2p、αβ＝p。
（2α-1）＋（2β-1）＝2（α＋β）-2＝4p-2.　（2α-1）*（2β-1）＝4αβ-2（α＋β）＋1＝1.
よって、f(x)＝x^2-2（2p-1）x＋1＝0.　

＞xの４次方程式f(x)*g(x)=0の異なる解の個数がちょうど3になるようなpの値を求めよ。

f(x)＝x^2-2px+p＝0、‥‥(1)、g(x)＝x^2-2（2p-1）x＋1＝0　‥‥(2)
従って、題意を満たすのは次の3つの場合が考えられる。
ただし、重解の場合の実数解の個数は1個と考える。
（Ａ）(1)が相異なる2つの実数解をもち、(2)が重解でその解が(1)の解と異なる時
（Ｂ）(2)が相異なる2つの実数解をもち、(1)が重解でその解が(2)の解と異なる時

ところが、(1)と(2)の判別式を取ると分かるが、上の2つの場合はない。（自分で確かめてね）

従って、次の場合しかありえない。

（Ｃ）(1)と(2)が共に相異なる実数解を持ち（従って、この時点では異なる解は4個）、そのうち1個だけが共通解の時。
2つの判別式＝p（p-1）＞0を考慮しながら、(1)－(2)より（p-1）*（4x+1）＝0となるが、p-1＝0は不適から、4x+1＝0となり、この時、p＝-1/24.　以下の（十分条件の）検証は自分でやって。但し、計算のチェックもしてね。

お礼

すごいです。
とても詳しくて理解できました！
ありがとうございました。