連立一次方程式の一般解

質問

現在、大学で線形代数を学んでいる者です。

　　問：　特殊解を見出すことによって、次の連立一次方程式の一般解を求めよ。　

　　　　　ⅹ1＋４ⅹ2－ⅹ3＋ⅹ4＝１
　　　　２ⅹ1＋５ⅹ2－２ⅹ3＋ⅹ4＝１　　　　　　　　　
　　　　－ⅹ1＋２ⅹ2＋ⅹ3＋ⅹ4＝１　
　　　　３ⅹ1＋９ⅹ2－３ⅹ3＋２ⅹ4＝２

　　　　　＊以下の()内は列ベクトルを示す　　

　　（解答）ⅹ4の係数を見れば、特殊解ⅴ0＝(0000)にとれることが見える。

　　以下の計算は省略
　　　　　：
　　　　　：
　　求める一般解は
　　(ⅹ1ⅹ2ⅹ3ⅹ4)＝ｓ(1010)+ｔ(011－3)+ⅴ0　
　　　　　　　　　＝ｓ(1010)+ｔ(011－3)+（0000）
　　　　(ｓ、ｔは任意のＫの元)

というように教科書には書かれているのですが、なぜ、特殊解ⅴ0＝(0000)と決められるのかがわかりません。わかる方、ぜひ、理由を教えてください。

回答No.3

kabaokaba

ほんと・・・ただ解けばいいだけなんだけども
線型代数の初歩にはそれぞれ流儀みたいなものがあって，
その流れの中でこういう「特殊解」を使う解法が
でてきてるんでしょ？
そういう流れを無視して，いきなりピンポイントで質問したって
駄目に決まってるじゃない．

なんで先生に聞かないの？

それに尽きる．
まあ，その教科書の流れは大体想像がつくし，
微分方程式とかを意識してるだろうくらいの予測はつくんだが．

いいかい．めんどくさいから行列で書くけど
連立方程式 Ax = b なんてのを考えるときに
もし「一個」の解 x0 が先に見つかれば，
つまり Ax0=b となる x0 が何かの方法で分かれば
Ax=b と引き算することで
A(x-x0)=0
とできるんだよ．
つまり，y=x-x0 なんて置き換えれば
Ay=0を解けばいいことになる
多分，教科書には先にこのタイプ，
いわゆる「斉次形」の議論がでてるんでしょ？

じゃあ，どうやってその「特殊解」を求めるかなんだけども
これはほとんど「勘」．どんな手を使っても良いから
一個見つけてしまって，いかにも「いきなり思いついた」ふりをして，
それが解になることを示せばいいの．

今回の場合はすでに教科書で指摘されてるように
x4の係数に注目して，x4 以外が全部0だったらラッキーだな
くらいで考えれば終わり．
もちろん特殊解は他にもいっぱいあるから
何でもいいから一個みつければいいだけ．

回答No.2

koko_u_

>一般的に、どのように0を決めるのかがわかりません。
個別的な連立方程式なら一般には特殊解などを考察する理由はありません。
普通に解くだけです。

お礼

ありがとうございます。解決しました。

回答No.1

koko_u_

(0 0 0 1) の間違いじゃないの？
x4 の係数と右辺の値がみんな同じでしょ。

補足

すみません。ⅴ0＝(0001)でした。なぜ、(0001)になるのですか。この問いの場合はⅹ4の係数と定数項の右辺の値が一致していましたが、一般的に、どのようにⅴ0を決めるのかがわかりません。