ディラック方程式の一般相対論化について

質問

シュレディンガーを特殊相対論化すれば、ディラック方程式が得られると思うのですが、（クライン・ゴルドン方程式かもしれませんが、、）、更にディラック方程式を一般相対論化は、できないのでしょうか？

問題点等がありましたら、ご教示願います。

回答No.2

shiara · ベストアンサー

ご質問への回答です。
１．γμは、ディラック行列だと思うのですが、特殊相対論では４組必要でした。それが、一般相対論では、１６組必要になるのでしょうか？
→4組です。ただし、ディラック方程式のように、４行4列の行列になるかどうかは分かりません。γμγν＋γνγμ＝2ｇμνが成り立つためには、γμは一般に座標の関数でなければならないし、ｇμνが対角型でなければ、γμは反可換にはなりません。そんな行列があるのかどうか。

２．ディラック方程式を場の量子論まで拡張しても、一般座標変換に対して共変なディラック方程式は困難でしょうか？
→1個の粒子に対して共変な形式にできれば、場の理論に展開することは可能でしょうが、場の理論だけ共変にできるとは思えません。

お礼

お返事ありがとうございます。

２．のご回答は、わかりました。

１．のご回答につきましては、個人的には他の考えた方もあるような気がします。他の可能性について自分なりに考えてみます。

今後ともよろしくお願い致します。

回答No.1

shiara

一般座標変換に対して共変なディラック方程式ができるかどうか、という質問だとすると、かなり難しいのではないかと思います。ディラック方程式は、エネルギー運動量ベクトルの内積の式PμPμ＝(mc)^2で、PμPμ＝(Pμγμ)^2となるようなγを用いて、Pμの一次式にしたものです。これが成り立つためには、γμγν＋γνγμ＝2ｇμνが成立しなければなりません。特殊相対性理論の範囲では、ｇμνはミンコフスキー空間の計量ημνですから、このようなγμは存在します。これが一般座標変換に対して共変であるためには、任意の計量テンソルｇμνに対して成り立たなければなりません。このようなγμが存在するかどうか、かなり難しいのではないかと思っております。

補足

お返事ありがとうございます。

下記について更にご教示願います。

１．γμは、ディラック行列だと思うのですが、特殊相対論では４組必要でした。それが、一般相対論では、１６組必要になるのでしょうか？

２．ディラック方程式を場の量子論まで拡張しても、一般座標変換に対して共変なディラック方程式は困難でしょうか？