微分方程式の一般解について

質問

微分方程式の一般解についてなんですが、特性解が重解や２つあるときはわかるのですが特性解が１つのときの一般解の求め方がわかりません。
今、ｙの二階微分をＡ、一階微分をＢとします。
例えば４Ｄ－１２Ｂ＋９ｙ＝０という微分方程式があったとして、これの特性解は3/2です。
どうやって求めたらいいのでしょう？

回答No.2

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。

＞特性解は3/2です。どうやって求めたらいいのでしょう？

特性方程式が重解 x=α を持つ時は、e^(αx)に対して、xe^(αx)が線型独立な
特殊解になります。

従って、ｙ＝C1e^(αx)＋C2xe^(αx) (C1, C2は定数)　となります。
この公式を用いると、（答え）ｙ＝C1e^(3/2)x＋C2xe^(3/2)x

＞特性解が重解や２つあるときはわかるのですが
特性解が１つのときの一般解の求め方がわかりません。

この部分は一部意味不明です。特性解が１つというのは、この場合、
重解だと思います。

お礼

重解の意味を勘違いしてました＾＾；ありがとうございます。

回答No.3

fuuraibou0

２階線形同次微分方程式　ａｙ"＋ｂｙ'＋ｃ＝０　の補助方程式（特性方程式）は、ａｔ^2＋ｂｔ＋ｃ＝０　で、特性方程式の解　α、β　は

α＝{－ｂ＋√(ｂ^2－４ａｃ)}/２ａ、　β＝{－ｂ－√(ｂ^2－４ａｃ)}/２ａ

２階線形同次微分方程式の一般解 ｙ は、α、β　の形により、次の様になる。
（I）α、β　が共に相異なる実数解のとき、ｙ＝Ｃ1*ｅ^αｘ＋Ｃ2*ｅ^βx
（II）α、β　が　α＝β　で、２重解のとき、ｙ＝ｅ^αx(Ｃ1*ｘ＋Ｃ2)
（III）α、β　が共役複素解のとき、ｐ＝－ｂ/２ａ、ｑ＝√(４ａｃ－ｂ^2)/２ａ　として、ｙ＝ｅ^px(Ｃ1*cosｑｘ＋Ｃ2*sinｑｘ)　です。

よって、４ｙ"－１２ｙ'＋９ｙ＝０　の特性方程式は、４ｔ^2－１２ｔ＋９＝０ で、
（II）の場合になり、
α＝β＝３/２、　　∴　一般解は、ｙ＝ｅ^(3/2)x (Ｃ1*ｘ＋Ｃ2) です。

お礼

すごくわかりやすいです。ありがとうございます＾＾

回答No.1

looker1986

特性解が１つのときというのは、つまり重解のときではないでしょうか？

お礼

そうでした＾＾；ありがとうございます。