平面に碁盤目のように無限に配置された抵抗値の解析的な求め方

質問

「楽しめる物理問題２００選」に平面に碁盤目のように無限に配置されたときの抵抗値を求る問題がありました。碁盤の各辺に抵抗Rが配置され、その1つの抵抗の両端から見た抵抗値を求める問題です。

解法は感心したのですが、この手の問題によくある抵抗値の極限の存在を仮定しているとゆうか収束の検討がされていません。これを解析的に解く方法は無いでしょうか。色々検討しましたがだめでした。

ちなみに解はR/2です。

回答No.5

eatern27 · ベストアンサー

>下記の所への追加が並列になる説明を考えてみます
『並列』という書き方はよくなかったですかね^^;

直感的には、
「抵抗」というのは、「電流の流れにくさ」を表す値です。
#4に書いた各ステップごとに、電流が流れるルートが増えていくので、全体の抵抗は単調に減少していくはずですよね。(もちろん、変わらない場合もあるでしょうが、電流が流れにくくなるはずがありません。)

各抵抗にR_i (i=1,2,・・・)と番号をつけます。
問題ではR_i=Rという事になっていますが、各R_iは可変抵抗であると考えても、合成抵抗を考える事ができます。この場合、合成抵抗rは
r(R_1,R_2,R_3,・・・)
の形で表されるはずです。

この時、任意のR_iに対して、∂r/∂R_i≧0が成り立つのは明らかだと思います。
(数学的にどう証明すればいいかよく分かりませんが、キルヒホッフの法則とかを使って証明できるんじゃないかと思います。)

#4に書いたような「抵抗をつけくわえる」という操作は、
「対応する可変抵抗の抵抗値を∞からＲに変える」という操作と等価です。∂r/∂R_i≧0を考えれば、「対応する可変抵抗の抵抗値を∞からＲに変える」という操作によって、合成抵抗rは減少する(もしくは変わらない)という事になります(よね？)。

お礼

なるほど、「抵抗値を∞からＲに変える」ですね、ありがとうございます。
ちなみに、＃４のブロックの追加は何とかうまくいったのですがもう一段増やそうとすると同じ困難が現れ、今度は対称でないので。(~w~;)

回答No.4

eatern27

１つの抵抗の両端をＡ、Ｂとします。まず、

Ａ－Ｒ－Ｂ

という抵抗を考えます。この回路の抵抗に並列にＲを３つ付け加えると、

Ａ―Ｒ―Ｂ
｜　　　　｜
Ｒ　　　　Ｒ
｜　　　　｜
└―Ｒ―┘

となります。さらに、Ｂの真下の抵抗に注目して、この抵抗に並列にＲを３つ付け加えると、

Ａ―Ｒ―Ｂ―Ｒ―┐
｜　　　　｜　　　　｜
Ｒ　　　　Ｒ　　　　Ｒ
｜　　　　｜　　　　｜
└―Ｒ―┴―Ｒ―┘

同様に繰り返していけば、

┌―Ｒ―┐
｜　　　　｜
Ｒ　　　　Ｒ
｜　　　　｜
Ａ―Ｒ―Ｂ―Ｒ―┐
｜　　　　｜　　　　｜
Ｒ　　　　Ｒ　　　　Ｒ
｜　　　　｜　　　　｜
└―Ｒ―┴―Ｒ―┘

┌―Ｒ―┬―Ｒ―┐
｜　　　　｜　　　　｜
Ｒ　　　　Ｒ　　　　Ｒ
｜　　　　｜　　　　｜
Ａ―Ｒ―Ｂ―Ｒ―┤
｜　　　　｜　　　　｜
Ｒ　　　　Ｒ　　　　Ｒ
｜　　　　｜　　　　｜
└―Ｒ―┴―Ｒ―┘

┌―Ｒ―┬―Ｒ―┬―Ｒ―┐
｜　　　　｜　　　　｜　　　　｜
Ｒ　　　　Ｒ　　　　Ｒ　　　　Ｒ
｜　　　　｜　　　　｜　　　　｜
├―Ｒ―Ａ―Ｒ―Ｂ―Ｒ―┤
｜　　　　｜　　　　｜　　　　｜
Ｒ　　　　Ｒ　　　　Ｒ　　　　Ｒ
｜　　　　｜　　　　｜　　　　｜
└―Ｒ―┴―Ｒ―┴―Ｒ―┘

のように、回路を大きくしていく事ができます。

各ステップでは、一つの抵抗に並列に、別の抵抗を付け加えているだけなので、抵抗は単調に減少していきます。

お礼

なるほど、１ブロックづつですか。わたしは全周をいっぺんに付け加えていくことを考えていたのでだめでした。今時間がないので検討できないのですが下記の所への追加が並列になる説明を考えてみます（この図を見ていると並列であることは間違いないように思えますが）。

再度ありがとうございました。
┌―Ｒ―┐
｜　　　　｜
Ｒ　　　　Ｒ
｜　　　　｜
Ａ―Ｒ―Ｂ―Ｒ―┐
｜　　　　｜　　　　｜
Ｒ　　　　Ｒ　　　　Ｒ
｜　　　　｜　　　　｜
└―Ｒ―┴―Ｒ―┘

回答No.3

eatern27

現実に、仰るような抵抗を用意する事はできませんが、それに近い抵抗を用意する事はできます。(例えば、十分大きなnに対して、n×nの碁盤を用意すればよい)

この抵抗には実際に電圧をかけることができて、そうしたら、ある電流が流れます。この電圧と電流の比が抵抗ですので、極限が存在しないとおかしいのです。(極限が存在しないということは、抵抗が定まらないということですから)

・・・というのが、物理的な説明ですかね。

数学的にも、極限が存在する事は、きちんと証明できます。

例えば、ｎ×ｎの碁盤の抵抗値をR_nとします。
抵抗R_nに並列にいくつかの抵抗を付け加えることによって、抵抗R_{n+1}を構成する事ができます。

一般に、抵抗RとR'を並列に並べた時の、合成抵抗は、R,R'よりも小さくなります。つまり、抵抗を並列につなげれば、抵抗は小さくなります。

従って、R_n>R_{n+1}が成り立ちます。つまり、R_nは単調減少です。
また、R_nは下に有界です。(０より大きいので)

R_nは単調減少で下に有界なので、収束します。

n×nの碁盤でn→∞とする以外の順番で碁盤上に無限の抵抗を並べる場合も考えられます。(上の流れで、どんな順番に並べたとしても、収束する事自体は証明できる)
本当は、それらの極限が一致する、という事も証明すべきですが、物理的には明らかでしょう。

お礼

ありがとうございます。ただ私には単純に並列と説明できないのです。

回答No.2

jyuzou

Rx=3*R*Rx/(R+3*Rx)
Rxの初期値はRでRxを再帰的に求める。
すると収束値が出る。

Z=(3*Rx/2)*R / (3*Rx/2+R)
Zが解

収束値が2*R/3になりそうなんで、解ZはR/2

なんとなく答えは導けましたけど、きっと再帰的を求めるという方法ではなく、級数などの数式として表現させたいということですよね。。。
（数学が得意ならこれを級数として表現できるのでしょうか？？）
お役に立てず。

補足

ありがとうございます。ただ始めの式と２番目の式の導出方法がわからないのですが？
Rx=3*R*Rx/(R+3*Rx)
Z=(3*Rx/2)*R / (3*Rx/2+R)
また、この2式の関係もよく解りません。

ここでは漸化式の一般項を求めようとは思っていません。ラダーでも無理なんではと思えますので。

回答No.1

jyuzou

私は「楽しめる物理問題２００選」という本を持っていません。
「碁盤の各辺に抵抗Rが配置され、その1つの抵抗の両端から見た抵抗値を求める問題です。」
とのことで文面から問題を仮定して計算してみましたが、いずれも解がR/2にはなりませんでした。
つまりは問題がよくわかりません。
もっと丁寧な問題の描写をお願いしたいところです。
あと解析的に解くとはどのような意味でしょうか？

補足

申し訳ございません。図の書き方が下手ですが以下のように縦横に交差した線の各線分に抵抗Rが接続され、四方に無限に配置されているような回路です。このうち一つの抵抗R（無限に広がっているのでどれをとっても同じはず）の両端から見た抵抗値を求めるということです。

　　　　｜　　｜　　　｜
　　　　R　　　R　　　R　
　　　　｜　　｜　　　｜
---R----R----R----R---
　　　　｜　　｜　　　｜
　　　　R　　　R　　　R　
　　　　｜　　｜　　　｜
---R----R----R----R----
　　　　｜　　｜　　　｜
　　　　R　　　R　　　R　
　　　　｜　　｜　　　｜

解析的に解くとは、適当な言葉では無かったかもしれませんが次のような意味です。
例えば無限に続くラダーの抵抗値を求めるときはn個までのラダーの抵抗値をRnとして漸化式が立てられ級数の極限として求める方法があります。
ただし、この場合も収束の検討をせず、無限ラダーは極限値があると仮定すれば簡単に抵抗値を求めることができます。

この問題でも抵抗値がある、有限（収束する）と仮定して解を求めていました。

以前にあったラダー抵抗の問題です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2070184