抵抗値の問題の解き方を教えてください

質問

次の問題を解く考え方を教えて下さい。
３本の抵抗r1,r2,r2が三角形に接続されている。
r1の両端で抵抗値を測ったらraであった。
同様にr2の両端がrb、r3の両端がrcであった。
ra,rb,rcの測定値からr1,r2,r3を求めよ。
解答は
D=(ra^2+rb^2+rc^2)/2-(raba+rbrc+rcra)として
r1=D/(ra-rb-rc),r2=D/(rb-rc-ra),r3=D/(rc-ra-rb)
と乗っています。僕が考えた式は
ra=r1(r2+r3)/(r1+r2+r3),rb=r2(r1+r3)/(r1+r2+r3),rc=r3(r1+r2)/(r1+r2+r3)
から変形して
r1(ra-rb-rc)=r2(rb-ra-rc),r2(rb-ra-rc)=r3(rc-ra-rb),r3(rc-ra-rb)=r1(ra-rb-rc)
です。しかしこの連立方程式は定数項がないから解けません。
変形のどこが悪いのか分からないのです。

回答No.3

oshiete_goo

質問者の疑問点に対するアドバイス
「どんな方程式でも必ず解ける方法があるか?」・・・多分ないのでしょうね.
また, 筆者の限られた経験と能力では一般性のある体系的解法というのも確立できません.
取り扱う方程式系のタイプがある程度限られていれば，それなりの分類学的アプローチも意味あるかも知れませんが，さまざまな場合を扱うのであれば，あまり役には立たないかも知れません．

この問題はたぶんその方面では有名問題なのだと思いますので, もっとスマートな解法がないか，大学の電磁気学や回路学あたりの演習書を調べて見られると, 見つかるかも知れません．

筆者自身はこの問題は初めてで，本を写すのはつまらないので，試しにやってみたというところです．
基本対称式をもっと重視したような方法もあるかもとは思ったのですが，途中であまり有望そうでない気がしたので（本当はできるのかも知れませんが）それは打ち切って，先述の方法で押して一応の結果を得ました．
解法に確信があったわけではありません．単に x,y,z（とa,b,c）の対応を意識して，左辺の"次数"に注意しつつ，x/S, y/S, z/S (和が１)などが求まるといいなと思って手をつけました．結果的にはxy, yz, zxの役割が大きかったようですが．

というわけで，あまり意味のあることは申しあげられません．

お礼

どうもありがとうございました。教わった事をよく考えてみます。

回答No.2

oshiete_goo

[訂正]
先ほどは
「x,y,z についてcyclic (x,y,zを順にずらしても不変)」
と書きましたが, これはウソで, x,y,zとa,b,cを対応させながらシフトしないとダメですね．訂正します.

補足

ありがとうございます。
(1')(2')(3')の和/2という式を作る
{(5)-(1')}/S という式変形をする
(A+B)(A-B)=A^2-B^2 の公式を使う
(9)(10)(11)の和に(4)式を使う
この順序は、どうすれば考え出せるのですか。決まってる順序があるのでしょうか。
それとも問題ごとに色々試しながら探すのでしょうか。僕には才能がないのか
その方法がまったく考え出せないんです。

回答No.1

oshiete_goo

1つの解答例を示します.
[解]
raをa, r1=x などと略記すると, 題意より
1/a=1/x+1/(y+z) ・・・(1)
1/b=1/y+1/(z+x) ・・・(2)
1/c=1/z+1/(x+y) ・・・(3)
からx,y,zを求めれば良い.

x,y,z についてcyclic (x,y,zを順にずらしても不変)なことに注意しながらやると,
S=x+y+z ・・・(4) として
x(y+z)=Sa ・・・(1')
y(z+x)=Sb ・・・(2')
z(x+y)=Sc ・・・(3')

この3式の和*(1/2)より, xy+yz+zx=S(a+b+c)/2 ・・・(5)

{(5)-(1')}/S より yz/S=(b+c-a)/2 ・・・(6)
{(5)-(2')}/S より zx/S=(c+a-b)/2 ・・・(7)
{(5)-(3')}/S より xy/S=(a+b-c)/2 ・・・(8)

(A+B)(A-B)=A^2-B^2 の展開公式なども利用すると
(6)*(7)より xyz*z/S^2=(c^2-a^2-b^2+2ab)/4 ・・・(9)
(7)*(8)より xyz*x/S^2=(a^2-b^2-c^2+2bc)/4 ・・・(10)
(8)*(6)より xyz*y/S^2=(b^2-c^2-a^2+2ca)/4 ・・・(11)

この3式の和を考え(4)を使うと, 左辺はSで一回約分できて
xyz/S={-a^2-b^2-c^2+2(ab+bc+ca)}/4 =-D/2 ・・・(12)
但し D={a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)}/2

(12)／(6) より x=-D/(b+c-a)=D/(a-b-c)
(12)／(7) より y=-D/(c+a-b)=D/(b-c-a)
(12)／(8) より z=-D/(a+b-c)=D/(c-a-b)

以上