解析学、e

質問

こんにちは。e^(x^2) + x >= e^x が全ての実数に対して成り立つことを証明しようとしてるのですが、最後の部分？(もしかしたら考え方が間違ってるかもしれませんが)うまくいきません。ご教授お願いします。

私は e^(x^2) + x - e^x >=　0　であることを示せば証明が成り立つと考え、eをそれぞれ展開して
e^(x^2) + x - e^x = 1 + (x^2 - 1) (e^x - x)　がえられました。これが、０以上であればいいのですが・・・ここから解りません。アドバイスをください。

回答No.4

take008

> e^(x^2) + x - e^x = 1 + (x^2 - 1) (e^x - x)　がえられました。
この文からすると何か書き間違いがあるのかも知れませんが
f(x)=e^(x^2)+x-e^x >= 0
を証明することにします。
f(0)=0 だから x<0 で f'(x)<0　かつ　x>0 で f'(x)>0 を示せばよい。
f'(x) = 2xe^(x^2)+1-e^x
(1) x >= 1 のとき
　f'(x) > e^(x^2)+1-e^x >= e^x+1-e^x > 0
(2) 0<x<1 のとき
　f'(x) > 2x+1-e^x > 0
(3) x<0 のとき
　f'(x) < 2x+1-e^x < 0

(2)(3)の最後の大小関係はグラフを描くとわかるでしょう。

回答No.3

ringohatimitu

e^xのマクローリン展開を使ってもよいのであれば次のように示せます：
e^(x^2) + x - e^x
＝ 1 + x^2 + x^4/2! + x^6/3! + ・・・
+ x - 1 - x - x^2/2! - x^3/3! - x^4/4! - ・・・
＝ (1/1! - 1/2!)x^2 - x^3/3! +
(1/2! - 1/4!)x^4 - x^5/5! +
(1/3! - 1/6!)x^6 - x^7/7! +
・・・
ここで|x|≧1のときはx^2≧|x|なので示したい不等式は明らかで|x|≦1のときに示せれば十分です。
|x|≦1のとき上の最後の式は次の式よりも小さいです：
(1/1! - 1/2!) - 1/3! +
(1/2! - 1/4!) - 1/5! +
(1/3! - 1/6!) - 1/7! +
・・・
一般項は1/n! - 1/(2n)! - 1/(2n+1)!＝1/n! - (2n+2)/(2n+1)! ≧ 0 なので上の式は正です。
したがって求める不等式が得られました。

回答No.2

tatsumi01

No. 1 ですが、間違えました。無視して下さい。

回答No.1

tatsumi01

> e^(x^2) + x - e^x >=　0　であることを示せば証明が成り立つ
これでＯＫです。
> e^(x^2) + x - e^x = 1 + (x^2 - 1) (e^x - x)　がえられました
なりません。
x = 0 のとき
e^(x^2) + x - e^x = 1 + 0 - 1 = 0
で成り立ちます。
x > 0 のとき
e^(x^2) + x - e^x = e^x (e^x - 1) + x
でカッコ内が正だから成り立ちます。
x < 0 のとき y = -x と置き換えて下さい。