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解析学の基礎的な問題
｜x｜＜1のとき arctanx=x-1/3x＾3+1/5x＾5-1/7＾7… が成り立つことを示したいのですが、 この問題の場合テイラーの公式をつかい展開させていく方法が一番簡単なんですか、またその他の証明のしかたがあれば教えてほしいです。
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x=0の周りのTaylor展開（Maclaurin展開）そのものですから、定義の展開式の係数を求めて証明するのが最も簡単でしょう。
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- uzumakipan
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回答No.3
こんばんは。べき級数の展開の一意性より、どんな方法で展開できても結果は同じです。 ですから、 (1) ∫1/(1＋x^2)dx ＝ arctanx （基本的な積分） (2) 1/(1-r) ＝ 1+r+r^2+r^3+… （幾何級数） を利用して 1/(1+x^2) ＝ 1-x^2+x^4-x^6+… の両辺を項別積分すれば arctanx ＝ x-1/3x＾3+1/5x＾5-1/7＾7… となります。 ※べき級数の展開の一意性、項別積分ができる理由はご自分で調べてください。
質問者
お礼
こんばんわ。 回答ありがとうございました。 いただいた回答の通りにするのが一番やりやすそうですね、
- HANANOKEIJ
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回答No.1
偶然、岩波新書「無限のなかの数学」志賀浩二著、のp.86～p.93を読んだばかりでした。第２章円と無限、を読んでみてください。 岩波書店「数学が育っていく物語」第２週「解析性」志賀浩二著、p.30～p.47も参考にしてください。 時間があれば、「数学が育っていく物語」第１週「極限の深み」も読んでみてください。 お励みください。
お礼
こんばんわ。 回答ありがとうございました。 いただいた回答の通りにするのが簡単で良さそうですね。