map(R,R) e^{(a1)x},e^{(a2

質問

map(R,R)
e^{(a1)x},e^{(a2)x},…e^{(ak)x}の指数関数を考える（-∞<a1<a2<a3<……ak<+∞）

λ1e^{(a1)x}+λ2e^{(a2)x+…λke^{(ak)x}=0 (λ１…λkは定数）が全ての実数Xに対して成立するならば
λ1=λ2=λ３=…=λkを示せ

回答No.6

178-tall

map(R,R) を一見し、引いてました。
結論は「λ1 =λ2 =λ3 = …λk = 0 」なのでしょうね。

{e^(ak*x) } の「ロンスキー」非零から一次独立とする手。
　k = 2 。
　　|　e^(a1*x)　　　e^(a2*x) 　|
　　| a1e^(a1*x)　　a2e^(a2*x) |
　= (a2 - a1)*e^{(a1+a2)*x } ≠ 0

じかに当たる手。
　k = 2 。
　λ1*e^(a1*x) +λ2*e^(a2*x) = e^(a1*x)*{λ1 +λ2*e^(a2'*x)}　(a2' = a2 - a1 > 0 ) と変形。
　(非必須)
　異なる 2 数 {p, q } について、
　　λ1 +λ2*e^(a2'*p) = 0
　　λ1 +λ2*e^(a2'*q) = 0
　　e^(a2'*q) - e^(a2'*p) ≠ 0、∴ λ1 = λ2 = 0 。

既に、2 つ手筋が示されてますね。

回答No.5

Tacosan

そ～いうことです＞#4.

回答No.4

alice_44

a1＜a2＜…＜ak を使って、端から順に…
ってこと？

回答No.3

Tacosan

あるいは 1つずつ「0 じゃないと困るよね」ってやってもいいのかな?

回答No.2

alice_44

すると、λn の連立方程式の係数が、
van der Monde 行列になるからね。
a1,a2,…,ak が相異なるなら、正則。

回答No.1

Tacosan

微分していいならひたすら微分していくだけ.