f(x)=x^3 +cx^2 +dx+e(c,d,

質問

f(x)=x^3 +cx^2 +dx+e(c,d,eは実数)がx^2 +4x+3で割り切れるとき、dとeをcを用いてあらわせ
またこのとき方程式f(x)=0が正の実数解をもつようなcの値の範囲を求めよ

ご教授お願いします

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

f(x)=x^3 +cx^2 +dx+e ...(1)

x^2 +4x+3=(x+1)(x+3)なので
f(x)は(x+1)および(x+3)で割り切れる。
因数定理より
f(-1)=-1+c-d+e=0 ...(2)
f(-3)=-27+9c-3d+e=0 ...(3)
(2),(3)をd,eについて解くと
　∴d=4c-13, e=3c-12 ...(4)　←（答え）
(4)を(1)に代入
f(x)=x^3+cx^2+(4c-13)x+3(c-4)
　=(x+1)(x+3)(x+c-4)
f(x)=0の解は
　x=-1,-3,4-c
x=-1,-3は負の実数解なので、正の実数解となりうる解はx=4-c
f(x)=0が正の実数解を持つための条件は、
　x=4-c>0 すなわち cの値の範囲は ∴c<4 ←(答え)

回答No.2

ask-it-aurora

方針だけを示します．具体的な数字はご自分で計算してください．

g(x) = x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) とおきましょう．f(x)がg(x)で割り切れるので
f(x) = g(x)h(x)
となる（1次）多項式h(x)があります．ここでg(-1) = g(-3) = 0に注目すれば連立方程式
f(-1) = f(-3) = 0
が導かれます．これを解けば前半は終わりです．

またf(x)が（x^3の項があるため）十分大きな値M > 0に対してf(M) > 0であることに気がつけば中間値の定理よりf(0) < 0が正の実数解をもつ条件とわかります．前半でeはcを用いて表されているので，これでcに関する不等式が得られて終わりです．