xが複素数のときのlim{x→∞}(1+1/x)^x=eを証明したい

質問

皆さんよろしくお願いいたします。
通常"実数"xに対して定義されている。自然対数の低eについては
lim{x→∞}(1+1/x)^x=e
が成立つことが証明されています。
ここでxが複素数でも成立つか、証明したいのですが、うまくいきません。
証明方法をご存知の方、いらっしゃいましたらご教示いただきたく
お願いいたします。

回答No.7

zyukun

いきなり
>>( (n-1)/(sT + (n-1) )^n=( 1 + (-sT)/(n-1) )^n
するのは語弊がありました。
というか、直接的にはイコールになりません。すみません。

(n-1)/(sT + (n-1) )
= ( (n-1) + sT - sT )/( sT + (n-1) )
= 1 - sT /( sT + (n-1) )
とできます。

nを正方向へ無限大にするとき、
( 1 + (-sT)/( sT + (n-1) ) )^n
と
( 1 + (-sT)/(n-1) )^n
はともに、exp(-sT)に収束します。

ということで、上記の証明もしなければならないので、
この場合も分かりにくかったですね。
sTが実数の場合は、高々定数なので、自明といえば自明なのですが、
ややこしくしてしまって申し訳ないです。
しっかり証明するとしたら、確か挟み撃ちの原理を使えば
できた気がします。

求めたい命題が、
>>lim{n→∞}( ((n-1)/T)/(s+(n-1)/T) )^n=e^(-Ts)
だったので、こっちが分かりやすいかなと思って
書いてしまいました。

lim[n->∞]( 1 + q/n )^n=exp(q)
は、qが実数のときの証明は結構参考書に載っています。
結構簡単です。

[証明]
m = n/q とおきます。　n = qm です。すると、

( 1 + q/n )^n = ( 1 + 1/m )^(qm) = ( ( 1 + 1/m )^m )^q

とできるので、
nはmを整数とするように値をとっていきながらmを無限大にすると、exp(q)となります。

証明終わり//

複素数の場合は、拡張すると、上手く行ったという感じでしょうか。
僕もあまり詳しくないのでちょっとよくわかりません。

こういう数学の根底の課題は、きっちりやろうと思えば、
すごく難しくなったりもしますね。
割り切って行くのも大事かもしれません。

回答No.6

zyukun

回答遅くなりました。
お礼の部分を拝見しました。

恐らく、
lim{n→∞}( ((n-1)/T)/(s+(n-1)/T) )^n=e^(-Ts)
を証明したいということならば、

( ((n-1)/T)/(s+(n-1)/T) )^n
= ( (n-1)/(sT + (n-1) )^2
=( 1 + (-sT)/(n-1) )^n

として、考えた方が分かりやすいかもです。
そうすると、問題は、

「qを複素数としたときに、lim[n->∞]( 1 + q/n )^n=exp(q)」

が成り立つかということです。

でもじつは、これも定義（のちょっとした拡張）なんですよね。
だから考えること自体、無意味だということです。
数学科とかならば題材として実数から複素数への拡張を
見るのも勉強になりますが、数学を専攻する者以外が気にする必要は
ほぼないと思います。というか、理解が難しい。

数学として
調べてきっちりやるとなると、かなり長い道のりですよ。
簡単に順序立てていくと、aを実数として
lim{n→∞}(1+a/n)^nの収束性の証明
lim{n→∞}(1+a/n)^n = Σ[n=1,∞] a^n/n!の証明からはじまり
複素領域への解析接続といった知識も加わって
複素でのeの定義の合理性も確かめて
初めて複素数でもOKというのが得られるのです。

なので、複素数でやることに関しては、合理的に実数と同じように
複素数ででもできるから使っていいという
認識程度でいいのではないでしょうか。

前回の質問を拝見したところ、定義についての理解も
曖昧なようですし、理解するのはかなり時間がかかりと思います。

似たような質問があったので、参考URLに載せておきます。

参考URL：

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1313322343

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
ご回答頂いた内容で分からない部分が有ります。
数学音痴で申し訳有りませんが、ご教示いただきたくよろしくお願いします。
お示した頂いた以下の式なのですが
>( ((n-1)/T)/(s+(n-1)/T) )^n
>= ( (n-1)/(sT + (n-1) )^2
>=( 1 + (-sT)/(n-1) )^n
( (n-1)/(sT + (n-1) )^n=( 1 + (-sT)/(n-1) )^n
となる展開が出来ません。どういう過程を踏めば上記のような展開が
出来るのか、ご教示いただきたくお願いいたします。
また、ここからどうやって、lim[n->∞]( 1 + q/n )^n=exp(q)の形にすればよいか分かりません。
しかもlim[n->∞]( 1 + 1/n )^n=eは、定義として理解しているのですが、
>「qを複素数としたときに、lim[n->∞]( 1 + q/n )^n=exp(q)」
の場合なぜexp(q)となるのでようか。初歩的で大変申し訳ありませんが、
ご教示頂ければ幸いです。

>数学として...複素でのeの定義の合理性も確かめて、初めて複素数でもOKというのが得られるのです。

ご教示頂きありがとうございます。
数学的に確認することの大変さが良く分かりました。

>なので、複素数でやることに関しては、合理的に実数と同じように
>複素数ででもできるから使っていいという
>認識程度でいいのではないでしょうか。
URL拝見させていただきました。確かにe^xをe^(ix)と虚数範囲にまで拡張するのに、
大変な証明を行った記憶は無く解析学の教科書にも普通に載っているので、
何の違和感もなく使っていました。
lim{x→∞}(1+1/x)^x=eにおいてxが複素数でも成立つか証明することにこだわらず、
ご提案頂いた、上記の証明を行っていきたいと思います。

回答No.5

zyukun

命題が曖昧ですよ。その命題では答えはでないはず。

具体的には、x->∞の部分です。

x を a+biとすると、
(a,bi)→(a,∞i),(∞,bi),(∞,∞i)
のうちどれなのか、はたまた
|a+bi|=√(a^2+b^2)→∞
として言っているのか。
どうなんでしょうか？

複素数を無限大にするという意味を知っていらっしゃるのでしょうか？

それに、そもそもこの命題が成り立つことを分かってて
証明方法が分からないのか、
成り立つかどうかも分からずに証明しようとしているのか、
どちらなんでしょう？

もし後者であれば、命題についてもきちんと吟味するべきですよ。

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
おっしゃるとおり命題があいまいですね。申し訳有りません。
実は制御工学の問題なのです。勉強中に次の証明問題を解こうとしています。
制御工学では、時間をtとすると入力がu(t)、出力がy(t)、
y(t)=u(t-T)で表わされるようなシステムを
無駄時間要素（時間遅れ要素）と呼んでいます。
T は非負の実数（T≧0) であり、時間領域が、ｔ＜0 のとき u(t)＝0 です。
この式はシステムに加えられた入力が T 時間後に
そのまま出力として現れるようなシステムの特性を表わしています。

ラプラス変換で出てくる変数s(複素数s=α+βi、虚数単位i）とすると
無駄時間要素は数学的にe^(-Ts)となることが証明されています。

制御工学では、物理現象を有限次数の線形微分方て式で表わす場合は
解析がしやすいのですが、無駄時間要素は数学的に無限次元の変数で
表示しなければならないシステムになってしまいます。

そこで、関数F(n,T,s) = ( ((n-1)/T)/(s+(n-1)/T) )^n
で近似できることがわかっています。ここでn→∞のとき
F(n,T,s)→e^(-Ts)を証明する必要が出てきました。つまり

lim{n→∞}( ((n-1)/T)/(s+(n-1)/T) )^n=e^(-Ts)

を証明したいのです。
ここでx = (n-1)/(Ts)とおくとn=xTs+1なのでF(n,T,s)は以下のようになります。
(x/(1+x))^(xTs＋1)=（ ( (1+1/x)^x )^(-Ts)) )(1+1/x)^(-1)
ここでx→∞とすると上式はlim{x→∞}(1+1/x)^x=eを利用して
lim{n→∞}( ((n-1)/T)/(s+(n-1)/T) )^n=e^(-Ts)を証明することができます。
ただしここで問題なのがxが複素数でlim{x→∞}(1+1/x)^x=eが成立つかが問題です。
そこでここで質問をさせていただいた次第です。
すいません。長々と書きましたが、ご質問の答えになっていませんね。
実は、自分でも同じ疑問を持ったのですが、分かりませんでした。

実は、上で示した関数F(n,T,s)は、ここの教えてgoo！で教えてもらったのですが、
ここでn→∞のときF(n,T,s)→e^(-Ts)となるのは自明である。
このような当たり前の極限問題には興味がない。
やるなら自分でやるか別途質問を立ててくださいと言われてしまいました。
その後自分で頭を捻ってみましたが、分からずここで質問させていただきました。

回答No.4

Tacosan

念の為ですが, 複素数 x, y に対して x^y はどのように定義していますか?
exp と lim が交換できることって, どう示すんだろ....

回答No.3

mistery200

すみません。間違いました。
ｘ＝ｒ（ｅ＾iθ）
ｒは長さ、ｉは虚数、θは角度
（1+1/x）＾ｘ＝（１＋1/x）^r×（1+1/x）＾（e＾iθ）
のように指数項は分解できませんでした。

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
ご指摘のとおり指数項は分解できませんね。
（1+1/x)^x=(1+1/( r(e^iθ) ))^(r(e^iθ))=(1+1/( r(e^iθ) ))^(r+(e^iθ))
であれば別ですが、・・・。

回答No.2

mistery200

訂正、本質に変化なし
＝｛１＋（ｅ＾-iθ）/ｒ）^r

回答No.1

mistery200

ｘ＝ｒ（ｅ＾iθ）
ｒは長さ、ｉは虚数、θは角度
（1+1/x）＾ｘ＝（１＋1/x）^r×（1+1/x）＾（e＾iθ）
＝（１＋1/x）^r
＝｛１＋（ｅ＾iθ）/ｒ）^r
θがね、πのときは
＝（1-1/r)^r＝１
となってしまうでしょう。
複素数では成り立たないと考えます。

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
ご教示頂いた内容で分からないところが有ります。
>(1+1/x)^x=(1＋1/x)^r×(1+1/x)＾(e^iθ)
>=(1＋1/x)^r
とされていますが、なぜ(1+1/x)＾(e^iθ)=1となってしまうのでしょか。
x=r(e^(iθ))ですから
(1+1/x)＾(e^iθ)=(1+1/( r(e^(iθ)) ))＾(e^iθ)
これが1となるためにはr→∞かθ→∞のどちらでもなると思いますが、
x→∞ということはr→∞ & θ→∞ということでしょうか。