最適化について教えてください。

質問

りんごの生産関数が αK^(1/2)L^(1/2)、
バナナの生産関数が βK^(1/2)L^(1/2)、
と与えられています。また、
0≦K≦100, 0≦L≦100
という条件があります。
りんご、バナナの値段がそれぞれPa, Pbのとき、利益が最大になるような生産束を求めよ、という問題です。

この問題を、ラグランジェ乗数法を使い解こうとしています。最適化すべき関数は、
F(K,L) = Pa・αK^(1/2)L^(1/2)＋Pb・βK^(1/2)L^(1/2)
なのですが、条件『0≦K≦100, 0≦L≦100』をどういうふうにして式に活かせばいいのか困っています。
どうかよろしくお願いします。

回答No.2

at9_am · ベストアンサー

全部答えるとルール違反なので概略だけ。

要素価格が外生的に与えられているとすれば、
max π = Pa fa + Pb fb - {r(Ka + Kb) + w(La + Lb)}
s.t. Ka + Kb ≦ 100, La + Lb ≦ 100
を解けば解が求まります。
ただし最大化された利潤が負になる場合、その財の生産が行われませんので、いくつかの場合分けが必要になります。

ラグランジュ関数を
L(Ka,Kb,La,Lb) = π + λK {100 - (Ka + Kb)} + λL {100 - (La + Lb)}
とおけば、最大化条件はクーンタッカー条件より
Pa fa / 2Ka = r λK, Pa fa / 2La = w λL
Pb fb / 2Kb = r λK, Pb fb / 2Lb = w λL
λK {100 - (Ka + Kb)} ≧ 0
λL {100 - (La + Lb)} ≧ 0
と書けます。6 変数 6 方程式ですので、解は一意に求めることが出来ます。実は、最大化された利潤が負にならない限り、要素価格は解に影響を与えません。

これを解くとある条件の時のみリンゴとバナナが生産され、通常は一方のみしか生産されないという結論が得られます。これは、生産関数(および利潤関数)が一次同次関数になっているからです。

回答No.1

kohta83

投入要素の価格は与えられていないのでしょうか？

補足

はい、与えられてないんです。販売価格のみ与えられています。ということは、
F(K,L) = Pa・αK^(1/2)L^(1/2)＋Pb・βK^(1/2)L^(1/2)を最適化したらいいと思うのですが、条件『0≦K≦100, 0≦L≦100』をどのようにラグランジェの式に反映させるか頭を悩ませているところなんです・・・。