ラグランジェの未定乗数法の問題がわかりません

質問

x²+y²=1を満たすx,yについてQ(x,y)=x²+4xy+4y²の最大値をラグランジェの未定乗数法と高校数学での方法と二通りで求めるという問題がわかりません。
途中過程も詳しく教えてほしいです。

回答No.1

jcpmutura

x^2+y^2=1
だから
x=cos(t)
y=sin(t)
となるtがある

Q(x,y)
=x^2+4xy+4y^2
=(x+2y)^2
={cos(t)+2sin(t)}^2
=5{(1/√5)cos(t)+(2/√5)sin(t)}^2
↓(1/√5)^2+(2/√5)^2=1だから
↓sin(a)=1/√5,cos(a)=2/√5となるaがある
=5{sin(a)cos(t)+cos(a)sin(t)}^2
=5{sin(t+a)}^2
↓-1≦sin(t+a)≦1だから
↓{sin(t+a)}^2≦1だから
≦5

Qが最大となる場合は
{sin(t+a)}^2=1の時だから
sin(t+a)=±1の時だから
t+a=(2n+1)π/2の時だから
t=(2n+1)π/2-aの時だから
x=cos{(2n+1)π/2-a}
=±sin(a)
=±1/√5
y=sin{(2n+1)π/2-a}
=±cos(a)
=±2/√5
の時だから
(x,y)=(1/√5,2/√5)の時Q(x,y)=x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2=5
(x,y)=(-1/√5,-2/√5)の時Q(x,y)=x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2=5
∴最大値は
Q(x,y)=5

ラグランジュ乗数をλとし
F(x,y,λ)
=Q(x,y)-λ(x^2+y^2-1)
=x^2+4xy+4y^2-λ(x^2+y^2-1)
とおく
F_x=2x+4y-2λx=0
F_y=4x+8y-2λy=0
F_λ=1-x^2-y^2=0
が成り立つから
(1-λ)x+2y=0
2x+(4-λ)y=0
1-x^2-y^2=0

(4-λ)(1-λ)x+2(4-λ)y=0
4x+2(4-λ)y=0
(4-λ)(1-λ)=4
λ^2-5λ=0
λ=0の時
x+2y=0
Q(x,y)=(x+2y)^2=0
λ=5の時
2x-y=0
y=2x
x^2+4x^2=1
5x^2=1
x=±1/√5
y=±2/√5
Q(x,y)=(x+2y)^2=(±5/√5)^2=5
∴最大値は
Q(x,y)=5