ミクロ経済学の費用最小化問題について。

質問

少々お尋ねしたい問題があるのでご教授ください。

ある生産者の生産関数がY=L^1/2・K^1/2であるとする。（L:労働K:資本）
また、このときLの価格は2、Kの価格は4である。
この場合に最小の費用で200単位の生産を行う場合、それぞれLは( )、Kは( )必要である。
という問題について、

Y=L^1/2・K^1/2=200…(1)
K=1/4C-1/2L

生産関数から限界代替率を求めるとK/Lなので、
K/L=1/2…(2)

(2)を整理して(1)に代入すると、
Y=√2・K=200
となるので、K=100√2
さらに、L=200√2
という答えが出ました。

最近解くことになった問題なのですが、解に平方根が含まれる答えは見たことがなく、合っているかどうか自信がありません……

もし解法および解答に間違いがなければその旨、間違いがあるならばその部分に関して正していただけますと幸いです。

回答No.1

f272

自分で解いたのだから自信を持ってください。これでよい。
Y=L^1/2・K^1/2＝200
と言う条件のもとで
C=2L+4K
を最小化する問題です。
どんな解き方をしてもいいのですから，あなたのやったようにしても答えは出ます。
私なら高校生のときに習った相加相乗平均を用いて
C=2L+4K≧2√(2L)(4K))=4√2*(L^(1/2))(K^(1/2))=4√2*200=800√2
が最小値で，それは2L=4Kのときである，とします。
このとき2L+4K=4L=8K=800√2ですから
L=200√2
K=100√2
ということがわかります。