三角正規行列が対角行列であるのはどうして？

質問

「正規行列が三角行列であるときその行列は対角行列である」
の説明に両者の成分比較をすれば明らかであると本に書いてありました
それ以上説明がないので困っています
誰か分かりやすく示してください

回答No.1

zuri1000

数学は忘れてしまいました。現役大学生が見たら笑われるかもしれませんがこんな感じじゃない？
行列Ａが正規行列であるとき　ＡＡ’＝Ａ’Ａ　が成り立つのは知っていますよね。　ここではＡ’はエルミート行列（ユニタリ行列でも可、実数の場合は対象行列、直交行列でも可）だと思ってください。
エルミート行列は　Ａ’＝Ａ　--------------------------------(1)
を満たします。（Ａ’が実対象行列や実直交行列も同じ）
　ためしに３×３行列で証明してみましょう（Ｎ×Ｎ行列でも同じになります）。
もし、いま正規行列Aが三角行列であるとき、

--------------{ a b c }　　 　　　　　
-----------A={ 0 d e }
--------------{ 0 0 f }行列の書き方がわからないのでこういう表記になりました。

とすると
---{ a' 0 　0 }
A’={ b' d' 0 }
---{ c e' f' }

になるはずです。　(1)より　A-A'=0　でなくてはならないので
b=c=e=0　でなくてはなりません。対角成分のa,d,fが生き残るので、行列Aは対角行列である。

　こんなことはわざわざ証明するまでもないんじゃない？
まずは簡単な行列で自分で試してみる事を常に心がけてくください。

お礼

補足の修正をします

Ａが上三角でエルミートの場合はｎが自然数一般であってもｉ＜ｊならば
ａ［ｊ，ｉ］＝０（上三角条件）であり
ａ［ｉ，ｊ］＝ａ［ｊ，ｉ］’（エルミート条件）であるから
ａ［ｉ，ｊ］＝ａ［ｊ，ｉ］’＝０であり対角になるのはすぐ分かるのですが

Ａが正規行列でｎが自然数の場合Ａ’・Ａ＝Ａ・Ａ’の成分比較によって
ａ［ｊ，ｉ］＝０からａ［ｉ，ｊ］＝０を導くのがなかなか難しいのですが
エルミートと違って正規は対称成分間に簡単な関係がないですからね

よろしくお願いします

補足

大学生出てからだいぶたってますから笑いませんよ（＾ｏ＾）

Ａが上三角でエルミートの場合はｎが自然数一般であってもｉ＜ｊならば
ａ［ｊ，ｉ］＝０（上三角条件）であり
ａ［ｉ，ｊ］＝ａ［ｊ，ｉ］’（エルミート条件）であるから
ａ［ｉ，ｊ］＝ａ［ｊ，ｉ］’＝０であり対角になるのはすぐ分かるのですが

Ａが正規行列でｎが自然数の場合Ａ’・Ａ＝Ａ・Ａ’の成分比較によって
ａ［ｊ，ｉ］＝０からａ［ｉ，ｊ］＝０を導くのがなかなか難しいのですが
エルミートと違って正規は非０成分が多いですからね

よろしくお願いします