微積

質問

∫(x^2)/｛(2-x^2)√(1-x^2)｝dx 積分範囲０～１

x=sinθとおいて計算したところ∫｛-1+2/(1+cosθ^2)｝になりまたつまりました。　最初のｘのおき方がおかしいのでしょうか？それとも上式は解けるのでしょうか？

回答No.5

oyaoya65 · ベストアンサー

＞∫{-1+2/(1+cosθ^2)}dθ
x=sinθの変数変換でいいですね。
第1項は
I1=∫{-1}dθ=-θ [θ:0->π/2]

I2=∫{2/(1+(cosθ)^2)}dθは
t=(tanθ)/√2とおくと
tanθ=t√2
dθ/(cosθ)^2 = dt√2
(cosθ)^2=1/(1+(tanθ)^2)=1/(1+2t^2)
dθ=dt√2/(1+2t^2)
2/(1+(cosθ)^2)=(1+2t^2)/(1+t^2)
から
I2=√2∫{1/(1+t^2)}dt=√2 tan^(-1)t [t:0->∞]

I=I1+I2
とすれば出来ますね。

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

yukito777

#2#3です。続けてすいません。
#3は間違ってました。tan^2にはなりませんね。
失礼致しました。

回答No.3

yukito777

#2 です。もっと簡単な方法を見つけました。
x=sinθで置換すると
∫sinθ^2/(2-sinθ^2)dθ　となり
さらに半角の公式で変形すると
=∫tanθ^2dθ　となります。
=[tanθ-θ]0→π/4
=1-π/4

途中の計算はやればわかると思います。

回答No.2

yukito777

∫1/(1+cosθ^2)dθ　を、半角の公式で書き直せば
∫2/(3+cos2θ）dθ
=∫1/(3+cosu)du (u=2θ 0→π/2)
=∫1/(t^2+2)dt (t=tan(u/2) 0→1)
=[1/√2 arctan(t/√2)]0→1
=1/√2 arctan(1/√2)

となるのではないでしょうか。最後の答えは
かなり汚くなりそうですね。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

rabbit_cat

∫1/(1+cosθ^2) dθ
の項をさらに、t=tan(θ/2) と置きなおすと積分できます。

お礼

ありがとうございます。