三角関数の積分計算ですが…

質問

∫sin^2(x)dx の積分計算をしたいのですが、半角（２倍角）の公式を使わずに、という制限つきでした。
t=tan(x) とおいて、sin^2(x)=t^2/(1+t^2)
dx=dt/(1+t^2) という形にして解こうと思ったのですが、∫(t^2/(1+t^2)^2)dt となってっしまい解けませんでした。他にも sin^2(x)を(√1-cos^2(x))*sin(x)
として、cos(x)で置換積分を試みましたが、
√(1-t^2)がでてくるため無理でした。どうすればうまくいきますか？
ちなみに必要かどうかはわかりませんが、積分区間は
0→2π でした。

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

不定積分の形で書きますが、最初から定積分としても同様です。

部分積分により
∫sin^2(x)dx ＝ -sin(x) cos(x) + ∫cos^2(x)dx
＝ -sin(x) cos(x) + ∫(1 - sin^2(x))dx

ゆえに
2∫sin^2(x)dx ＝ -sin(x) cos(x) + ∫1 dx
∫sin^2(x)dx ＝ -sin(x) cos(x)/2 + x/2 + C

ここから0→2πの定積分を求めるのは容易です。

お礼

参考になりました。ありがとうございました。
部分積分というものをすっかり忘れていました。

回答No.1

sunasearch

以下、積分区間を省略して書くと、

∫sin^2(x)dx ＝　∫(1-cos^2(x))dx
=2π - ∫cos^2(x)dx　

sin^2(x), cos^2(x)のグラフはともに周期2πで、
位相をπ/2ずらすと同じ形になるので、

∫sin^2(x)dx　＝∫cos^2(x)dx

よって、２∫sin^2(x)dx　＝　2π　となるから

∫sin^2(x)dx　＝　π

お礼

早々にお答えいただき、ありがとうございます。
∫sin^2(x)dx　＝∫cos^2(x)dx
という考え方が出ませんでした。
そういえばそうでしたね。