tan の部分積分

質問

いつもお世話になっています。

tan x の積分をしたくて、新しく覚えた部分積分というのを使ってみると
　∫tan x dx
= ∫(sin x)/(cos x) dx
= ∫(-cos x)' (1/cos x) dx
= (-cos x)(1/cos x) - ∫(-cos x) (sin x/cos^2 x) dx
= -1 + ∫tan x dx
と、おかしなことになりました。

部分積分の公式の元に戻って
　(fg)' = f'g + fg'
と考えると
　f(x) = -cos x
　g(x) = 1/cos x
となって、左辺が定数の微分になるので
　(-1)' = tan x - tan x
だからあってます。

定数を f(x), g(x) に分解したあたりが怪しいような気がするのですが、
最初にやった部分積分の式で何をどうしたのがいけなかったのかが説明できません。

いったい何がだめだったのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

tan の積分を部分積分を使って計算できるのかどうかわかりませんが、
∫tanｘ ｄｘ　＝　－１　＋　∫tanｘ ｄｘ
となるのは、あまり変なことではありません。
なぜならば、定積分ではなく不定積分だからです。

数学では、上手に計算しないと元の式に戻ってしまう現象がしばしば発生します。
このケースも、その一例です。

では、tanｘ の積分はどうやって計算するかですが、
下記をご覧ください。（たぶん、教科書にも書いていると思いますが）
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/basic-int/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/sekibun/basic-int/int-tanx.html

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。

積分定数がこんなところでも関係してくるのがよくわかりました。

tan の積分のURLもありがとうございます。
実は高校で数学をちゃんとやってない上に、
独学で勉強しようとして大学の微分積分の簡単なものを買ってしまったので、
tan の積分は当たり前すぎるのか買った教科書に載ってなかったので助かりました。

回答No.3

hitokotonusi

(a,b)の定積分を考えれば-1は

[-1]_a^b = (-1)-(-1)=0

で、第一項は消えてしまいますね。

不定積分のままなら積分定数をCとして

∫tan x dx　= -1 + ∫tan x dx　+C

普通なら積分定数Cは積分範囲の選び方(初期条件・境界条件)で決まりますが、この場合は積分範囲によらずC=1です。

Cのまま残しておいてもいいですが、初期条件等を入れるところで結果として同じことになります。

お礼

回答ありがとうございます。

定積分の場合もおかしくないことがよくわかりました。
(-1) という定数に a を代入しても b を代入しても値は (-1) なので、
引き算して消えてくれるということですね。

回答No.1

-somebody-

本質的な回答ではないかもしれませんが
一般に不定積分の解には積分定数が付くので

∫tanxdx=∫tanxdx+cとなり
今回の部分積分ではc=-1だった
ということになると思います。

お礼

回答ありがとうございます。

よく理解できました。
積分定数というものがあるのは知っていましたが、
こんな形で出てくると思っていませんでした。