積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4

質問

定積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4
この計算の仕方が分かりません。
x=sinθとおく。dx=cosθdθ。x[0→1]がθ[0→2/π]になる。
∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ
ここまでは合ってますか？
次に半角の公式を使って（この半角の公式とやらがよく分からないのですが）1/2∫[0→2/π]1+cos2θdθとなり
=π/4となる様です。計算の説明を分かりやすくお願い致します。
また、π/4 は 45°で、cos(π/4)=1/√2、sin(π/4)=1/√2 ですが、それとの関係はどうなるのでしょう？

回答No.2

shuu_01 · ベストアンサー

∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ
ここまでは合ってますか？

正しくは　1 → π/2 です　（πと２が逆）

さらに、dx=cosθdθ　の cos θ を入れ忘れています

以上を訂正すると

∫[0→π/2]√（cos^2θ） cos θ dθ
＝　∫[0→π/2] cos^2 θ dθ

となります

cos^2 θ を積分するの面倒です

しかし、半角の公式

cos（θ/2）＝±√｛（1 + cosθ）/2｝

を用いると、、、、

同じ θ を使ってるので、頭 こんがらがりますが

cos（θ）＝±√｛（1 + cos 2θ）/2｝

cos^2 θ ＝ （1 + cos 2θ）/2

で２乗を外せて、積分しやすい形になります

（1/2）∫[0→π/2]（1+cos2θ）dθ

＝（1/2） [ θ ＋ (1/2) sin 2θ] （0→π/2）

＝ （1/2）｛（π/2 ＋ sin π）ー（0 ＋ sin 0）｝
＝ （1/2）（π/2 ）
＝π/4

＞　また、π/4 は 45°で、
＞　cos(π/4)=1/√2、sin(π/4)=1/√2 ですが、
＞　それとの関係はどうなるのでしょう？

上記の積分の π/4 　は面積
π/4 は 45°という時の　π/4 　は角度
ですので、関係は深く考えても仕方ありません

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

shuu_01

｜　上記の積分の π/4 　は面積
｜　π/4 は 45°という時の　π/4 　は角度
｜　ですので、関係は深く考えても仕方ありません

など言ってしまいましたが、

今回の積分は半径１の円の 1/4 の面積を求めています

半径 1 の円の円周の長さは　2π・1 ＝ 2π

半径1 の円の面積は π・1^2 ＝ π

です

３日前の既出 Q&A
円の面積　小学校で、どう教わりましたか?
http://okwave.jp/qa/q8510063.html

に面積を求める図がありましたが、

半径１の円の面積は 縦の長さ１、横の長さπの
長方形の面積です

今回は、その 1/4 と考えると、角度の π/4 と
円周の長さ、面積について、思いをめぐらせるのも
数学の理解が深まり良いかもしれません

お礼

そうですね、基本的な数学にその歴史から興味がわいてきました。ありがとうございます。

回答No.1

ybnormal

∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]（cosθ）^2dθ

http://ja.ftext.org/2%E5%80%8D%E8%A7%92%E3%83%BB%E5%8D%8A%E8%A7%92%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

リンクの中の（２）の式のうち、(cosθ)^2 = (cos2θ + 1)/2を使えば、あとは簡単なコサインの積分です。

お礼

ありがとうございました。