定積分の応用

質問

定積分の応用

あるサイトで見た問題の解き方ですが，
∫[0→π/2] sin x / (sin x + cos x) dx
= ∫[0→π/4] sin x / (sin x + cos x) dx + ∫[π/4→π/2] sin x / (sin x + cos x) dx
ここで右側の∫[π/4→π/2] sin x / (sin x + cos x) dxを
= ∫[0→π/4] sin(π/2 -x) / (sin(π/2 -x) + cos(π/2 -x)) dx としていました．

質問ですが
x をπ/2 - xに置き換える，というようなことはしても良いのでしょうか?
普通ならt = π/2 -xにして違う文字に置き換えますよね…?
（t = … で計算したら答えにたどりつけませんでした）

答えは
∫[0→π/4] 1 dx = π/4
になっていました．

回答No.5

naniwacchi · ベストアンサー

#3です。

＞「tを再度 xに戻して」もいいんですよね?
＞ここでなぜかひっかかってしまいます…
＞一番最初のxと「「tを再度 xに戻した」後のxが同じじゃないように思います…
確かに、気持ち悪いですよね。
xや tは、ただ単に被積分関数を表す変数だと認識すればよいのですが・・・

少し乱暴な表現ですが、言い方を変えれば、
定積分：∫f(x) dx 自体は xの関数ではなく、ただの定数ですよね。
そして、いまの問題では、
∫f(x) dx + ∫g(t) dt

の形になっていますが、第 1項も 第 2項もただの定数です。
そして、単にそれぞれの被積分関数が xや tで表されている。これだけのことです。

第 2項の変形により積分区間が合わせられているので、単純に文字を「置き直して」計算をしていることになります。

「xが、tが」というよりも、f(なんとか)、g(なんとか)と表される関数が 0≦ (なんとか)≦ π/4の範囲で積分されている。
ぐらいにとらえれば、文字自身はどうでもいいってことになるのですが。＾＾；

お礼

回答ありがとうございました．
>単にそれぞれの被積分関数が xや tで表されている
モヤモヤしていたところがすっきりしました!

回答No.6

alice_44

t = π/2 - x と置き換えた後、t を x と書き換えることには、
論理的には何の問題もなく、全く正しいのですが、
目がチラチラしたり、頭がゴチャゴチャしたり、
要するに間違いの元なので、あまりお勧めはしません。

∫[π/4→π/2] sin x / (sin x + cos x) dx
= ∫[0→π/4] sin(π/2 - t) / { sin(π/2 - t) + cos(π/2 - t) } dt
= ∫[0→π/4] sin t / (sin t + cos t) dt
と
∫[0→π/4] sin x / (sin x + cos x) dx
を被積分関数の時点で足すために、積分変数を揃えたいのなら、

むしろ、∫[0→π/4] sin x / (sin x + cos x) dx のほうを
x = t で置き換えて、
∫[0→π/4] sin x / (sin x + cos x) dx
= ∫[0→π/4] sin t / (sin t + cos t) dt
としてしまうほうが、違和感は少ないような気がします。
二つの積分に、それぞれ異なる変数変換をしたって構わないでしょう？

お礼

回答ありがとうございます!
確かにそうですね… 違和感は少ないです(^_^;)

また少し違う考え方，勉強になりました．
ありがとうございました!

回答No.4

Mr_Holland

＃２です。

＞「tをxに置き換え」ても良いということですか?

　そうですよ。
　被積分関数は何であれ、定積分なのですから、積分結果は単なる数値になります。
　被積分関数はｔでもｘでもｙでもｚでも何でも良いのです。

＞t=π/2-x と置いたのにtをそのままxに置き換えていいのか…? と思ってしまいます…

　こことは関係ありません。
　前に行った変数変換とは無関係です。

お礼

回答ありがとうございました
>前に行った変数変換とは無関係です
僕の誤解(?)が解けました．本当にありがとうございました!

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

＞ここで右側の∫[π/4→π/2] sin x / (sin x + cos x) dxを
変形の順番が少し違っているように思います。＾＾

(1) sin(π/2- x)＝ cos(x)、cos(π/2- x)＝ sin(x)ですね。
まずこれを代入します。

(2) π/2- x＝ tと置き換えると、
積分区間は、x：π/4～π/2から、t：π/4～ 0となり、
dx＝ -dtとなります。

(3) (2)の結果を整理すると、
∫[0～π/4] cos(t)/{ cos(t)+ sin(t) } dt

となります。

(4) tを再度 xに戻して、最初の式に戻せば「通分」ができて、
∫[0→π/4] 1 dx = π/4

となります。

補足

回答ありがとうございます!
「tを再度 xに戻して」もいいんですよね?
ここでなぜかひっかかってしまいます…
一番最初のxと「「tを再度 xに戻した」後のxが同じじゃないように思います…

回答No.2

Mr_Holland

＞x をπ/2 - xに置き換える，というようなことはしても良いのでしょうか?

　構いませんよ。
　t=π/2-xと置き換えて、tをxと書き換えれば同じ式が導かれますから。

　以下、その途中式を書いてみます。

　t=π/2-x　∴x=π/2-t, dx=-dt
　x=π/4のとき　t=π/4, x=π/2のとき　t=0

　∫[π/4→π/2] sin(x)/{sin(x)+cos(x)} dx
=∫[π/4→0] sin(π/2-t)/{sin(π/2-t)+cos(π/2-t)} (-dt)
=∫[0→π/4] sin(π/2-t)/{sin(π/2-t)+cos(π/2-t)} dt
=∫[0→π/4] sin(π/2-x)/{sin(π/2-x)+cos(π/2-x)} dx　　←被積分関数tをxに置き換え。

補足

回答ありがとうございます!
「tをxに置き換え」ても良いということですか?
t=π/2-x と置いたのにtをそのままxに置き換えていいのか…? と思ってしまいます…

回答No.1

rabbit_cat

＞x をπ/2 - xに置き換える，というようなことはしても良いのでしょうか?
＞普通ならt = π/2 -xにして違う文字に置き換えますよね…?
つまり、一度、t = π/2 -xと違う文字に置き換えて、その後、さらにもう一度、x=tとあらためて置き直している、と思えばよいです。
途中が省略されてます。

>（t = … で計算したら答えにたどりつけませんでした）
うーん。まあ、そうかな。
つまり、
∫[0→π/4] sin(π/2 -x) / (sin(π/2 -x) + cos(π/2 -x)) dx
=∫[0→π/4] cos x / (sin x + cos x) dx
で、これと、質問文の式の２行目の第一項の
∫[0→π/4] sin x / (sin x + cos x) dx
とを合わせると、分子＝分母になるんで、結局
∫[0→π/4] 1 dx = π/4
ということなんですが。
ちょっと技巧的な感じですね。

補足

回答ありがとうございます!
t = π/2 -x と置いたということは，x = π/2 - tのはず…
これをx = tにしてもいいということでしょうか?