プランクの輻射式

質問

こんばんは！いつもお世話になっています！

プランクの輻射公式を波長λで積分するとボルツマンの法則がでてくるらしいのですが，積分の仕方が分かりません…どのように計算するのでしょうか？分かる方いらっしゃいましたら，よろしくお願いします！

プランクの輻射公式
Ｍ＝Ａλ（－５）／｛exp（Ｂ／λＴ）－１｝
　　Ａ，Ｂは定数
　　Ｔは温度
　　λは波長
　　λ（－５）はλの－５乗という意味です

回答No.5

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> Σn^-4 の数列はどのように和を出すのでしょうか？
> Σn^4 の公式は載っていたのですが（導出は分かりません）-4乗になると，
> ちょっと違ってきますよね！？

もちろん，Σn^-4 に Σn^4 の公式は使えません．
MhariMhari さんが
> n=1,2,3,…なのに対しk=1,1/2,1/3…なので
> 和の計算が違ってくるのではと思いまして…
と書かれているとおりです．

さて，どうしましょう．
あまり予備知識のいらない方法を紹介しましょう．
まずは
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=437287
をご覧下さい．
これは Σ(1/n^2) = π^2/6 を求める方法です．

今見たら，ちょっとミスタイプもありましたので，
再録して修正しておきます．

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(1)　　f(x) = x^2
を区間 -π≦x≦πでフーリエ展開します．
偶関数ですから，cos 項のみが存在して
(2)　　x^2 = a(0)/2 + Σ{n=1～∞} a(n) cos(nx)
の形になり，係数 a(n) は
(3)　　a(n) = (1/π)∫{-π～π} t^2 cos(nt) dt
　　　　　　= 4 (-1)^n / n^2　　　(n≧1)
(4)　　a(0) = (1/π)∫{-π～π} t^2 dt = 2π^2 / 3
になります．
したがって，x^2 のフーリエ展開は
(5)　　x^2 = (π^2/3) + 4 Σ{n=1～∞} [(-1)^n cos(nx) / n^2]
で，これに x =π を代入すると
(6)　　Σ{n=1～∞} [1 / n^2] = π^2 / 6
になります．
これが答ですね．

ついでに，x = 0 を代入すると
(7)　　Σ{n=1～∞} [(-1)^(n+1) / n^2] = π^2 / 12
も得られます．

同じことを x^4 についてやれば
(8)　　Σ{n=1～∞} [1 / n^4] = π^4 / 90
もわかります．

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上では x^4 をフーリエ展開と書いてありますが，具体的には
(9)　　x^4 = (π^4/5) + Σ{n=1～∞} [(-1)^n cos(nx)} {(-48/n^4) + (8π^2/n^2)}
で，x=π を代入すれば，Σ(1/n^2)=π^2/6 と組み合わせて
(8)になります．

筋は間違っていないと思いますが，
どこかつまらない間違いやミスタイプが心配(^^;)．

他には，sin x の無限乗積展開を使う方法や，
複素関数論で極を拾う留数定理の応用などがありますが
(たぶん，もっともっと方法はあるでしょう)，
上のフーリエ展開による方法が一番予備知識がいらないかと思います．

お礼

何度も丁寧に説明していただきありがとうございます！
式を追って計算してみたら何とか解くことができました♪本当に感謝感謝です！ありがとうございました！

回答No.4

siegmund

siegmund です．

> x^3/(exp(x)-1) = x^3 exp(-x) {1-exp(-x)}
> の右辺は
> x^3/(exp(x)-1) = x^3 exp(-x) ／{1-exp(-x)}
> ということでしょうか？

しまった，endlessriver さんのご回答をミスタイプか
などと言っていたら，自分もミスタイプしていました(^^;)．
大変申し訳ありません．
MhariMhari さんのご推察通りです．

> また、「展開」とは何展開なのでしょうか？テイラー展開ではなさそうなので…

1/(1-t) = 1 + t + t^2 + t^3 + t^4 + ・・・
という展開です．
普通に割り算やったと思ってもよいし，
t に関する Taylor 展開と思ってもよいです．
右辺から左辺を見れば，初項が 1，公比が t の無限等比級数の和になっています．
右辺の無限級数が収束する条件は
|t|<1 ですが，今は t=exp(-x) ですから大丈夫です．

項別に見ると，結局
∫[0,∞] {x^3 (exp(-nx)} dx
を計算することになりますが(n=1 から無限まで)，
部分積分を繰り返せばこの積分は 6/n^4 になります．

でも，定積分の値をきちんと求めるというのは，
今の問題では大して重要ではありません．
今はたまたま π^4/15 という見慣れた数で表現できましたが，
そうならないようなことだってあるわけです．
単なる定積分(パラメーターを含まないし，物理定数も含まない)ですから，
５とか８３とか 12345/45427 とかいうのと変わりはありません．
必要なら数値積分すればよいのです．

大事なところは，変数変換の結果，T^4 に比例するというところです．

endlessriver さん，批評がましくて失礼しました．

補足

丁寧な回答ありがとうございます！
ステファン-ボルツマンの式はT^4が大切というのは分かるのですが，定積分を計算しないと何となく気持ちが悪いもので…すいません(><)

なんとか6/n^4までは理解することができました♪
ですがそのあとが問題…

Σn^-4 の数列はどのように和を出すのでしょうか？
Σn^4 の公式は載っていたのですが（導出は分かりません）-4乗になると，ちょっと違ってきますよね！？

n^-4＝k^4 と置いて計算してみたのですが，n=1,2,3,…なのに対しk=1,1/2,1/3…なので和の計算が違ってくるのではと思いまして…

もしよろしければ，回答よろしくお願いします．

回答No.3

endlessriver

＃１です。誤りでした。＃２さん、ご指摘ありがとうございます。

回答No.2

siegmund

endlessriver さんのご回答拝見しました．

ミスタイプかとも思いますが
(1)　　∫[0,∞]{x^3/(exp(x)-1)}dx=π^4/15
です(πのべき)．

x^3/(exp(x)-1) = x^3 exp(-x) {1-exp(-x)}
として，{　} を
1 + exp(-x) + exp(-2x) + exp(-3x) + ・・・
と展開し，項別積分すれば
6 Σ {n=1 → ∞} (1/n^4)
となり，Σの部分が π^4/90 ですから，結局(1)が得られます．

> ζ(4)=π^2/90
ζ(4)=π^4/90 ですね(πのべき)．

定積分の値は大した問題ではなくて(単なる定数ですから)，
変数変換の結果 T^4 に比例することがわかるところが重要です．

私もこのサイトで前に書いたような気がするのですが，
ちょっと探しても見あたりませんでした(^^;)．

補足

回答ありがとうございます！
式をたどってみたのですが…

x^3/(exp(x)-1) = x^3 exp(-x) {1-exp(-x)}
の右辺は
x^3/(exp(x)-1) = x^3 exp(-x) ／{1-exp(-x)}
ということでしょうか？
また、「展開」とは何展開なのでしょうか？テイラー展開ではなさそうなので…

何度も質問すいません！よろしくお願いします！

回答No.1

endlessriver

E=∫[0,∞]Ｍdλ　でx=B/(λT)の変数変換すれば
E=A(T/B)^4∫[0,∞]{x^3/(exp(x)-1)}dx　
これでステファン・ボルツマンの法則が得られています。

積分∫[0,∞]{x^3/(exp(x)-1)}dx=π^2/15となりますが計算は面倒です。以前どこかにありましたが追跡できません。ツェータ関数、ガンマ関数を使って、ζ(z)=(1/Γ(z))∫[0,∞]{x^(z-1)/(exp(x)-1)}dx　でζ(4)=π^2/90, Γ(4)=6。を使います。
これらの式の導出はとても面倒でした。

補足

回答ありがとうございます！
うう～ん、ζ関数とΓ関数ですかぁ…頭が痛くなりそうです(><)
何か類似問題の載っているサイトなどご存知だったら教えてください！