一次元調和振動子の平均のエネルギー＜Ｅ＞

質問

温度Ｔで、質量ｍのバネがボルツマン分布する時の平均のエネルギー＜Ｅ＞を知りたいのですが、

＜Ｅ＞＝∬Ｅｅｘｐ（―Ｅ／ｋＴ）ｄｘｄｐ／∬ｅｘｐ（―Ｅ／ｋＴ）ｄｘｄｐ

　　　　（ｋはボルツマン定数、pはX方向の運動量、Ｅ＝１／２・ａ2乗・ω2乗）

の解き方がよくわかりません。どうしたら、いいんでしょうか？

回答No.2

siegmund

siegmund です．

量子的にやるなら，n 番目の固有状態(n = 0,1,2...)のエネルギーが
(7)　　E_n = [n + (1/2)] (h/2π)ω
ですから，分配関数 Z が
(8)　　Z = Σ_{n=0}^∞ exp{- β[n + (1/2)] (h/2π) ω}　　β = 1/kT
　　　　 = exp[- β (h/2π)ω/2] Σ_{n=0}^∞ exp{- β(h/2π) ω}^n
ですから，無限等比級数の和ですぐ求められます．
ちょっと整理して
(9)　　Z = 1 / {2 sinh [β(h/2π)ω/2] }
で，あとは公式(6)を使えばＯＫです．
結果は
(10)　　U = (h/2π)ω/2 + (h/2π)ω/{exp[β(h/2π)ω] - 1}
で，β→0 (kT→∞)とすると，古典の場合に戻ります．

直接 U を和の形に書くなら
(11)　　U = (1/Z) Σ_{n=0}^∞ [n + (1/2)] (h/2π) ω exp{- β[n + (1/2)] (h/2π) ω}
ですが，和のところは本質的に Z のβ微分で出てきます．
ここら辺を整理したのが公式(6)になっています．

回答No.1

siegmund

表記からして，調和振動子は古典的(量子的でなく)扱うのですね．
統計力学の基本的問題です．

まず，答はエネルギー等分配則から直ちにわかります．
エネルギー等分配則は，
１自由度あたり (1/2)kT のエネルギーが分配されるというもの．
今，自由度は２(座標 x と運動量 p)ですから，
(1)　　<E> = kT
です．

k---1 さんが書かれた式から導くのでしたら，
(2)　　E = p^2 / 2m + m ω^2 x^2 / 2
ですから，x 積分と p 積分は分離できますね．
あとは，ガウス積分
(3)　　∫_{-∞}^{∞} exp(-c u^2) du = √(π/c)　　(c>0)
と
(4)　　∫_{-∞}^{∞} u^2 exp(-c^2 u^2) du
がわかればよい．
(4)の積分は(3)の両辺を c で微分すれば直ちに求められます．

他には，分配関数
(5)　　Z = ∫∫ exp(- E / kT) dx dp / h
を求めて(プランク定数 h で割るのを忘れないように)，
統計力学の公式
(6)　　U = <E> = -(∂/∂β) ln Z　　　(β=1/kT)
を使うという手もあります．

お礼

ご丁寧にありがとうございました。すごく参考になりました。

補足

回答ありがとうございます。もしよければ、量子的に扱う場合も教えて頂きたいのですがよろしいでしょうか。