定積分の結果に辿り着かせて下さい
定積分の結果に辿り着かせて下さい。
概要
f_p(t)
= { sin^2 t (0<=t<π)
= { 0 (π<=t<2π)
のフーリエ級数の
f_s(t) = c_0 + Σ[n=1,∞] a_n cos nt + Σ[n=1,∞] b_n sin nt
のb_nの定数を求めようとしています。
（本からの抜粋）
b_m = (1/π) ∫[0,π] (sin t)^2 * sin mt dt
(m = 1,2,3,...)
の被積分関数は
(sin t)^2 * sin mt = (1/2) sin mt - (1/4) {sin (2+m)t - sin (2-m)t}
と書き直せるので、定積分することにより
{ b_m = 0 (mが偶数のとき)
{ b_m = - 4 / (πm(m^2 - 4)) (mが奇数のとき)
が得られる。
…とありますが、計算間違いをしているのか、後一歩で辿り着けません。
私の計算
(1/2) ∫[0,π] sin mt dt - (1/4) {∫[0,π] sin (2+m)t dt - ∫[0,π] sin (2-m)t dt}
=(1/2) [(1/m) (-cos mt)][0,π] - (1/4) { [(1/(2+m)) (-cos (2+m)t)][0,π] - (1/(2-m)) (-cos (2-m)t)][0,π] }
=(-1/2m) [cos mt][0,π] - (1/4) { (-1/(2+m)) [cos (2+m)t][0,π] + (1/(2-m)) [cos (2-m)t][0,π] }
=(-1/2m) [cos πm - cos 0] - (1/4) { (-1/(2+m)) [cos (2π+πm) - cos 0] + (1/(2-m)) [cos (2π-πm) - cos 0] }
=(-1/2m) [cos πm - cos 0] - (1/4) { (-1/(2+m)) [cos πm - cos 0] + (1/(2-m)) [cos πm - cos 0] }
=(-1/2m) [(-1)^(2m-1) - 1] - (1/4) { (-1/(2+m)) [(-1)^(2m-1) - 1] + (1/(2-m)) [(-1)^(2m-1) - 1] }
=[ (-1/2m) - (1/4) { (-1/(2+m)) + (1/(2-m)) } ] * [(-1)^(2m-1) - 1]
=[ (-1/2m) - (1/4) { (1/(2-m)) - (1/(2+m)) } ] * [(-1)^(2m-1) - 1]
=[ (-1/2m) - (1/4) { (2+m)/{(2-m)(2+m)} - (2-m)/{(2-m)(2+m)} } ] * [(-1)^(2m-1) - 1]
=[ (-1/2m) - (1/4) { (2+m-2+m)/(2-m)(2+m) } ] * [(-1)^(2m-1) - 1]
=[ (-1/2m) - (1/4) { (2m)/(4-m^2) } ] * [(-1)^(2m-1) - 1]
…とりあえず、ここまで合っていますでしょうか？
合っていたら、
{ b_m = 0 (mが偶数のとき)
{ b_m = - 4 / (πm(m^2 - 4)) (mが奇数のとき)
まで導いて下さい。
途中で計算間違いがあったらご指摘下さい。
お願いします。
補足
早速の回答ありがとうございました。す、すごいですね！なるほど、この式はt=0のときにのみ成り立つんですね。 調子に乗ってもう１つ質問してもいいでしょうか？ ε(ω) = 1-(a^2/ω^2) をフーリエ逆変換すると、 ε(t) = 1-(a^2)t となるようなのですが、これもいくら本を調べてみても分かりません。むしろ、この変換結果は間違っているんじゃないかと思っています。アドバイスお願いします。aは定数で、^は累乗を表します。