行列と群

質問

今下記の問題の証明を試みています。

「S3∋σに対して３次正方行列Aσ＝(ａij)をａij＝δiσ(j)　（ｉ＝1,2,3、ｊ＝1,2,3）とおくことによって定める。ただし、δklはクロネッカー記号。
今6個の3次正方行列Aσは行列の積で群を作ることを示せ。」

それで、今群である条件のひとつの結合法則を示そうとしているのですが、

「S3は３次対称群で、σは結合法則が成立するので、σに依存しているAσに対しても結合法則は成立」
という1行だけで証明したことになりますか。

他の方法で解かなければならないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

scale--free · ベストアンサー

>「S3は３次対称群で、σは結合法則が成立するので、σに依存しているAσに対しても結合法則は成立」
という1行だけで証明したことになりますか。

結合法則を証明する理由の、「σは結合法則が成立するので」、というのがだめです。

結合法則とは
(Ａσ Ａσ')Ａσ" = Ａσ (Ａσ' Ａσ")
でした。
しかし、Ａσはそもそも行列ですよね。
一般に３×３行列Ａ、Ｂ、Ｃに対して、結合法則
(ＡＢ)Ｃ = Ａ(ＢＣ)
は成り立つんですよね。
だったら、・・・・・。

お礼

＞一般に３×３行列Ａ、Ｂ、Ｃに対して、結合法則
(ＡＢ)Ｃ = Ａ(ＢＣ)
は成り立つんですよね。

普通には成り立つんですが、この場合6個の行列だけを見ているので、成り立つのかどうかは言えない気がするのですが・・・。（実際は成り立っているのですが）

回答No.2

kabaokaba

題意の6個の行列からなる集合をGとおく

Gの任意の3要素A，B，Cに対して
これらは行列であるので通常の積に関して
結合則
(AB)C=A(BC)
が成立する．

結合則に関してはこれだけのことでしょう

それよりも・・
・積の演算がGで閉じているのか
・逆元が存在しかつGに属するのか
の方がよっぽど面倒だとおもう

sとtをS3の要素として
(As)(At)=A(st)なんてことがいえれば
それでOKなんだけど，
これは自明じゃない

なんか勘違いしてるかな・・