ハミルトニアンの行列表示

質問

量子力学の論文を読んでおり、フェルミ演算子c+(i),c(i)（iは成分)をもちいて行列表記でハミルト二アンを
H=Σ(i,j){c+(i)A(ij)c(j)+1/2(c+(i)B(ij)c(j)+h.c)

Σ(i,j):i,jに関する総和・A(ij),B(ij):行列A&Bのi行j列成分を差しており、行列A・Bは共にN次の正方行列とする。
行列Aはエルミート行列・行列Bは反対称行列
h.cはエルミート共役。

このとき、
trH=２の(N-1)乗×Σ(i)A(ii)
となるのはどうしてでしょうか？よろしくお願いいたします。また、数式がたいへんよみにくく、申し訳ありません。

回答No.7

eatern27 · ベストアンサー

#6に書いたように、各サイト(i)について「電子がある」と「電子がない」の２通りあるわけですが、この事は分かっているのですか？

つまり、N=2であれば、
i=1の電子はある、i=2の電子はある
i=1の電子はある、i=2の電子はない
i=1の電子はない、i=2の電子はある
i=1の電子はない、i=2の電子はない
の4通りである、という事は分かっていますか？

> |0>,c+(1)|0>,c+(1)|0>の3個と考えました。
c+(1)|0>が2つあるので何かの誤植なんじゃないかと思いますが、この３つ(誤植でないなら２つ)はそれぞれ上記のうちのどれに対応して、足りないのがどの状態であるかを考えれば、残りの１つも分かるのでは。

量子力学に限らず、ベクトル空間V(ヒルベルト空間)の基底を<e_n>とした時、V上の線形変換H(演算子)に対して、trHは
trH = Σ_n <e_n|H|e_n>
により定義されます。(定義のところで基底を使っているので、一見、基底の取りかたで違う値になりそうですが、基底の取りかたに依らない量となっています)
※基底じゃなくて、正規直交基底だったような気がしてきました。必要なら、線形代数の教科書等を参照してください。

お礼

ありがとうございます。ようやく解決しました。御礼が遅くなりましたこと、重ね重ねお詫びいたします

回答No.6

eatern27

>電子はアップとダウンの2とおりがあり、独立な状態は2^N個あるわけです。
ん、アップとダウンの２通りじゃなくて、電子が「ある」と「ない」の２通りです。
N=1であれば、真空状態|0>とc†|0>の2通りです。

補足

では、N=２での、基底はどうなるのだろうと考えてみたところ、|0>,c+(1)|0>,c+(1)|0>の3個と考えました。この時の行列が3×3になり、理論とあいません。ご指導よろしくお願い致します。

回答No.5

eatern27

>行列力学で言う基底の意味が良くわかりません。
行列力学ではなく線形代数の言葉なんですが、線形代数の「基底」だったら分かるんですか？

というか、私は、
>電子はアップとダウンの2とおりがあり、独立な状態は2^N個あるわけです。
この2^N個の状態を書きだしてくれ、というくらいつもりで書いたんだけどな^^;

回答No.4

eatern27

おっと、補足に気づいていませんでした。m(_ _)m

>よく考えると、Hに作用するは2^N次の正方行列である事はわかりました。電子はアップとダウンの2とおりがあり、独立な状態は2^N個あるわけです。でも、その後はどのように考えればよいのですか。

1.今考えている2^N次元のヒルベルト空間の基底
を１組挙げてください。

その基底を用いて、
2.このヒルベルト空間上の演算子Aに対してtrAの定義
はどう書けますか？この定義に基づいて計算するだけなのですが。
＃もしも、2に「行列Aの対角成分の和」としか答えられなければ、
＃3.演算子Aの行列要素((i,j)成分)の定義。
＃を書いてみて下さい。

もし必要なら「演算子」を数学で言う所の「線形変換」と読み替えて下さい。

補足

お返事ありがとうございます(^_^)
自分でも考えてみますが、行列力学で言う基底の意味が良くわかりません。ご指導、よろしくお願い致します。

回答No.3

eatern27

>H=c+(1)A(11)c(1)
と表せるとどうして、１次元なんですか？
c,c†は「演算子」であって、実数や複素数のような「数」ではありませんよ。

とりあえず、数演算子n=c†cの固有値を全て書き出すことはできますか？（A=1,B=0の場合、と考えても構いません)
少なくとも、異なる固有値の数以上の(独立な)状態があるはずですよね。

それでも、独立な状態が１つしかない、といいうのなら、具体的にどういう状態があると思っているのでしょうか？

補足

よく考えると、Hに作用するは2^N次の正方行列である事はわかりました。電子はアップとダウンの2とおりがあり、独立な状態は2^N個あるわけです。でも、その後はどのように考えればよいのですか。

回答No.2

eatern27

N次の正方行列だと言っているのは、AとかBであって、Hではありませんよね。

そもそも、Σの和を具体的に書き下せば、
c†(1)A(11)c(1)+・・・
のような項がずらっと出てくるだけなので、ハミルトニアンの中にN次の正方行列なんてどこにも出てきませんよね。

A(ij)は単なる複素数なので、考えるべきは、c†(i)c(j)(の表現行列)の次元です。
まずは、N=1の場合に、H(の表現行列)が何次元なのか(独立な状態が何個あるのか)を考えてみましょう。

補足

H=c+(1)A(11)c(1)
と表せるので一次元になると、考えます。しかし、違うようです。御指導よろしくお願い申しあげます。

回答No.1

eatern27

Hの作用する空間が(N次元ではなく)2^N次元のベクトル空間だという事は分かっていますか？

補足

N次の正方行列にもかかわらず2^N次元ですか？その辺がよくわかりません。